d) Seja . Prove que a função definida por um homomorfismo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que a função , que pega um polinômio e retorna o seu termo constante ( ), é um homomorfismo. Isso está dentro da matéria de Álgebra, mais especificamente no estudo de estruturas algébricas como anéis e homomorfismos entre eles. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um homomorfismo de anéis e mostrar que satisfaz as propriedades necessárias para ser um homomorfismo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um homomorfismo de anéis. Um homomorfismo entre dois anéis e é uma função que respeita as operações de adição e multiplicação dos anéis. Ou seja, para todo , devemos ter:
Além disso, se e tiverem elementos neutros para a multiplicação (como o número 1), o homomorfismo deve satisfazer .

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso à nossa função . Nosso anel de partida é , o conjunto de todos os polinômios com coeficientes em , e o anel de chegada é (que também é um anel, com as operações usuais de adição e multiplicação).
Precisamos verificar se satisfaz as duas propriedades do homomorfismo:
  1. Preservação da Adição:
  2. Preservação da Multiplicação:
E também verificar se .

Passo 4

Vamos começar com a adição. Se e , então:
Aplicando :
Por outro lado:
Portanto, .

Passo 5

Agora, vamos para a multiplicação. Multiplicar e resulta em um novo polinômio cujo termo constante é o produto dos termos constantes de e . Ou seja:
Aplicando :
E:
Assim, .

Passo 6

Por último, vamos verificar a imagem do elemento neutro multiplicativo. No anel , o elemento neutro para a multiplicação é o polinômio constante . Aplicando :
E no anel , o elemento neutro é também . Então, .

Resposta

Concluímos que a função satisfaz todas as propriedades de um homomorfismo de anéis. Portanto, definida por é de fato um homomorfismo.

Exercícios relacionados

Encontre a derivada das funções:
b) Descreva do item (a) como produto de polinômios irredutíveis sobre
Se
e são positivos, prove que
Mostre que se e , então, . (Dica: .