d) Seja
. Prove que a função
definida por
um homomorfismo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que a função
, que pega um polinômio e retorna o seu termo constante (
), é um homomorfismo. Isso está dentro da matéria de Álgebra, mais especificamente no estudo de estruturas algébricas como anéis e homomorfismos entre eles. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um homomorfismo de anéis e mostrar que
satisfaz as propriedades necessárias para ser um homomorfismo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um homomorfismo de anéis. Um homomorfismo entre dois anéis
e
é uma função que respeita as operações de adição e multiplicação dos anéis. Ou seja, para todo
, devemos ter:
Além disso, se
e
tiverem elementos neutros para a multiplicação (como o número 1), o homomorfismo deve satisfazer
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso à nossa função
. Nosso anel de partida é
, o conjunto de todos os polinômios com coeficientes em
, e o anel de chegada é
(que também é um anel, com as operações usuais de adição e multiplicação).
Precisamos verificar se
satisfaz as duas propriedades do homomorfismo:
-
Preservação da Adição:
-
Preservação da Multiplicação:
E também verificar se
.
Passo 4
Vamos começar com a adição. Se
e
, então:
Aplicando
:
Por outro lado:
Portanto,
.
Passo 5
Agora, vamos para a multiplicação. Multiplicar
e
resulta em um novo polinômio cujo termo constante é o produto dos termos constantes de
e
. Ou seja:
Aplicando
:
E:
Assim,
.
Passo 6
Por último, vamos verificar a imagem do elemento neutro multiplicativo. No anel
, o elemento neutro para a multiplicação é o polinômio constante
. Aplicando
:
E no anel
, o elemento neutro é também
. Então,
.
Resposta
Concluímos que a função
satisfaz todas as propriedades de um homomorfismo de anéis. Portanto,
definida por
é de fato um homomorfismo.
Exercícios relacionados
Encontre a derivada das funções:
b) Descreva
do item (a) como produto de polinômios irredutíveis sobre
Se
e
são positivos, prove que
Mostre que se
e
, então,
. (Dica:
.