Mostre que se
e
, então,
. (Dica:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar que, se
,
e
, então
. Vamos usar um pouco de álgebra e algumas propriedades de números reais para chegar nessa conclusão.
Passo 2
Primeiro, vamos começar com a desigualdade dada:
. Queremos relacionar isso com
e
diretamente. Para fazer isso, vamos subtrair
de ambos os lados:
Passo 3
Agora, usamos a dica que nos foi dada:
. Substituindo isso na desigualdade, temos:
Passo 4
Sabemos que
e
são positivos, ou seja,
. Então, a desigualdade
vai depender do sinal de
.
Passo 5
Como
é positivo, para que o produto seja positivo,
também precisa ser positivo. Então:
Passo 6
Resolvendo a desigualdade
, temos:
Resposta
Portanto, se
,
e
, então
.
Exercícios relacionados
Se
e
são positivos, prove que
d) Seja
. Prove que a função
definida por
um homomorfismo.
Mostre que
, para todo
.
Determine, se existir,
, em que