Mostre que se e , então, . (Dica: .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar que, se , e , então . Vamos usar um pouco de álgebra e algumas propriedades de números reais para chegar nessa conclusão.

Passo 2

Primeiro, vamos começar com a desigualdade dada: . Queremos relacionar isso com e diretamente. Para fazer isso, vamos subtrair de ambos os lados:

Passo 3

Agora, usamos a dica que nos foi dada: . Substituindo isso na desigualdade, temos:

Passo 4

Sabemos que e são positivos, ou seja, . Então, a desigualdade vai depender do sinal de .

Passo 5

Como é positivo, para que o produto seja positivo, também precisa ser positivo. Então:

Passo 6

Resolvendo a desigualdade , temos:

Resposta

Portanto, se , e , então .

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Se
e são positivos, prove que
d) Seja . Prove que a função definida por um homomorfismo.
Mostre que , para todo .
Determine, se existir, , em que