Mostre que a b <= (a^2 + b^2) / 2, para todo a, b in R.

Passo 1

Então, a gente precisa mostrar que para quaisquer números reais e , a desigualdade sempre é verdadeira. Vamos usar conceitos de álgebra, especificamente propriedades de desigualdades e a ideia de completar o quadrado.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a desigualdade para facilitar a análise. Subtraímos de ambos os lados:

Passo 3

Agora, vamos simplificar o lado direito da desigualdade:
Isso porque é o mesmo que dividido por 2.

Passo 4

Perceba que é igual a , que é sempre maior ou igual a zero, já que o quadrado de qualquer número real não pode ser negativo:

Resposta

Portanto, mostramos que para todo .

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