Mostre que
, para todo
.
Passo 1
Então, a gente precisa mostrar que para quaisquer números reais
e
, a desigualdade
sempre é verdadeira. Vamos usar conceitos de álgebra, especificamente propriedades de desigualdades e a ideia de completar o quadrado.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a desigualdade para facilitar a análise. Subtraímos
de ambos os lados:
Passo 3
Agora, vamos simplificar o lado direito da desigualdade:
Isso porque
é o mesmo que
dividido por 2.
Passo 4
Perceba que
é igual a
, que é sempre maior ou igual a zero, já que o quadrado de qualquer número real não pode ser negativo:
Resposta
Portanto, mostramos que
para todo
.