Se a1b1, ldots, anbn in(alpha, beta) e b1, ldots, bn in R^+, prove que a1+cdots+anb1+cdots+bn in(alpha, beta). Nas mesmas condições, se t1, ldots, tn in R^+, prove que t1 a1+cdots+tn ant1 b1+cdots+tn bn in(alpha, beta).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma série de frações que estão todas dentro do intervalo . Além disso, os denominadores são números reais positivos. A tarefa é provar que a média dessas frações, ou seja, , também está dentro do intervalo . E depois, fazer uma coisa parecida, mas agora com pesos positivos multiplicando os e .
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre desigualdades e médias ponderadas. A ideia é mostrar que, se cada fração individual está dentro de , então a média delas também não vai sair desse intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na primeira parte: provar que alpha < aibi < beta .
Como cada alpha bi < ai < beta bi , isso significa que para cada , temos:
Multiplicando todos os lados por (que é positivo, então a desigualdade não muda):

Passo 3

Agora, vamos somar essas desigualdades para todos os alpha b1 + alpha b2 + cdots + alpha bn < a1 + a2 + cdots + an < beta b1 + beta b2 + cdots + beta bn de 1 a alpha (b1 + b2 + cdots + bn) < a1 + a2 + cdots + an < beta (b1 + b2 + cdots + bn) :
Isso pode ser simplificado para:

Passo 4

Agora, vamos dividir todos os lados da desigualdade pela soma dos denominadores, alpha < a1 + a2 + cdots + anb1 + b2 + cdots + bn < beta , que é positivo:
a1 + cdots + anb1 + cdots + bn in (alpha, beta)
Ou seja:
Isso prova a primeira parte do exercício.

Passo 5

Agora, vamos para a segunda parte: provar que , onde alpha < aibi < beta são números reais positivos.
Começamos de novo com cada fração alpha ti bi < ti ai < beta ti bi , o que nos dá:
Multiplicando por (lembrando que ):

Passo 6

Somando essas desigualdades para todos os alpha (t1 b1 + t2 b2 + cdots + tn bn) < t1 a1 + t2 a2 + cdots + tn an < beta (t1 b1 + t2 b2 + cdots + tn bn) :

Passo 7

Dividindo tudo pela soma alpha < t1 a1 + t2 a2 + cdots + tn ant1 b1 + t2 b2 + cdots + tn bn < beta (que é positivo):
t1 a1+cdots+tn ant1 b1+cdots+tn bn in (alpha, beta)
Ou seja:
Isso completa a prova da segunda parte.

Resposta

Concluímos que tanto quanto são verdadeiros sob as condições dadas.

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