Se e , prove que . Nas mesmas condições, se , prove que .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma série de frações que estão todas dentro do intervalo . Além disso, os denominadores são números reais positivos. A tarefa é provar que a média dessas frações, ou seja, , também está dentro do intervalo . E depois, fazer uma coisa parecida, mas agora com pesos positivos multiplicando os e .
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre desigualdades e médias ponderadas. A ideia é mostrar que, se cada fração individual está dentro de , então a média delas também não vai sair desse intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na primeira parte: provar que .
Como cada , isso significa que para cada , temos:
Multiplicando todos os lados por (que é positivo, então a desigualdade não muda):

Passo 3

Agora, vamos somar essas desigualdades para todos os de 1 a :
Isso pode ser simplificado para:

Passo 4

Agora, vamos dividir todos os lados da desigualdade pela soma dos denominadores, , que é positivo:
Ou seja:
Isso prova a primeira parte do exercício.

Passo 5

Agora, vamos para a segunda parte: provar que , onde são números reais positivos.
Começamos de novo com cada fração , o que nos dá:
Multiplicando por (lembrando que ):

Passo 6

Somando essas desigualdades para todos os :

Passo 7

Dividindo tudo pela soma (que é positivo):
Ou seja:
Isso completa a prova da segunda parte.

Resposta

Concluímos que tanto quanto são verdadeiros sob as condições dadas.

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Dê exemplo de uma sequência decrescente de conjuntos de conjuntos infinitos, tal que .
Prove que .
Justifique se são verdadeiras ou falsas as proposições seguintes: A soma de dois racionais não inteiros pode ser um número inteiro.
Determine o conjunto solução da inequação .