Se
e
, prove que
. Nas mesmas condições, se
, prove que
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma série de frações
que estão todas dentro do intervalo
. Além disso, os denominadores
são números reais positivos. A tarefa é provar que a média dessas frações, ou seja,
, também está dentro do intervalo
. E depois, fazer uma coisa parecida, mas agora com pesos
positivos multiplicando os
e
.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre desigualdades e médias ponderadas. A ideia é mostrar que, se cada fração individual está dentro de
, então a média delas também não vai sair desse intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na primeira parte: provar que
.
Como cada
, isso significa que para cada
, temos:
Multiplicando todos os lados por
(que é positivo, então a desigualdade não muda):
Passo 3
Agora, vamos somar essas desigualdades para todos os
de 1 a
:
Isso pode ser simplificado para:
Passo 4
Agora, vamos dividir todos os lados da desigualdade pela soma dos denominadores,
, que é positivo:
Ou seja:
Isso prova a primeira parte do exercício.
Passo 5
Agora, vamos para a segunda parte: provar que , onde
são números reais positivos.
Começamos de novo com cada fração
, o que nos dá:
Multiplicando por
(lembrando que
):
Passo 6
Somando essas desigualdades para todos os
:
Passo 7
Dividindo tudo pela soma
(que é positivo):
Ou seja:
Isso completa a prova da segunda parte.
Resposta
Concluímos que tanto
quanto são verdadeiros sob as condições dadas.
Exercícios relacionados
Dê exemplo de uma sequência decrescente de conjuntos
de conjuntos infinitos, tal que
.
Prove que
.
Justifique se são verdadeiras ou falsas as proposições seguintes: A soma de dois racionais não inteiros pode ser um número inteiro.
Determine o conjunto solução da inequação
.