Dê exemplo de uma sequência decrescente de conjuntos
de conjuntos infinitos, tal que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para criar uma sequência de conjuntos que diminui passo a passo, ou seja, cada conjunto está dentro do anterior:
. Além disso, todo mundo quer que, no final das contas, se pegarmos a interseção de todos esses conjuntos, o resultado seja vazio (
). Para resolver isso, vamos precisar entender de conjuntos infinitos e como eles podem se relacionar em uma sequência decrescente.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar em conjuntos infinitos simples. Um exemplo fácil de conjuntos infinitos são os intervalos de números reais. Vamos criar uma sequência onde cada conjunto é um intervalo que começa um número maior que o anterior, garantindo que estamos “descendo” nos conjuntos.
Passo 3
Vamos definir cada conjunto
como o intervalo
. Ou seja:
Cada
é um conjunto infinito porque contém todos os números maiores que
.
Passo 4
Agora, vamos verificar se essa sequência é decrescente. Observando, vemos que
. Isso acontece porque, à medida que
aumenta, o intervalo começa em um número maior, então cada conjunto está contido no anterior.
Passo 5
Por último, vamos ver o que acontece com a interseção de todos esses conjuntos. A interseção
seria o conjunto de números que estão em todos os intervalos
para todo
. Mas não existe um número que seja maior que todo número natural
, então a interseção desses conjuntos é vazia:
Resposta
Um exemplo é a sequência de intervalos
para todo
, que satisfaz
e
.
Exercícios relacionados
Prove que
.
Prove que
Se
e
, prove que
. Nas mesmas condições, se
, prove que
.
Justifique se são verdadeiras ou falsas as proposições seguintes: A soma de dois racionais não inteiros pode ser um número inteiro.