Dê exemplo de uma sequência decrescente de conjuntos de conjuntos infinitos, tal que .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para criar uma sequência de conjuntos que diminui passo a passo, ou seja, cada conjunto está dentro do anterior: . Além disso, todo mundo quer que, no final das contas, se pegarmos a interseção de todos esses conjuntos, o resultado seja vazio ( ). Para resolver isso, vamos precisar entender de conjuntos infinitos e como eles podem se relacionar em uma sequência decrescente.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar em conjuntos infinitos simples. Um exemplo fácil de conjuntos infinitos são os intervalos de números reais. Vamos criar uma sequência onde cada conjunto é um intervalo que começa um número maior que o anterior, garantindo que estamos “descendo” nos conjuntos.

Passo 3

Vamos definir cada conjunto como o intervalo . Ou seja:
Cada é um conjunto infinito porque contém todos os números maiores que .

Passo 4

Agora, vamos verificar se essa sequência é decrescente. Observando, vemos que . Isso acontece porque, à medida que aumenta, o intervalo começa em um número maior, então cada conjunto está contido no anterior.

Passo 5

Por último, vamos ver o que acontece com a interseção de todos esses conjuntos. A interseção seria o conjunto de números que estão em todos os intervalos para todo . Mas não existe um número que seja maior que todo número natural , então a interseção desses conjuntos é vazia:

Resposta

Um exemplo é a sequência de intervalos para todo , que satisfaz e .

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Prove que .
Prove que
Se e , prove que . Nas mesmas condições, se , prove que .
Justifique se são verdadeiras ou falsas as proposições seguintes: A soma de dois racionais não inteiros pode ser um número inteiro.