Prove que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que
. Isso está relacionado com funções e iteração de funções, mais especificamente com a função sucessora
e suas potências
. Para resolver, vamos usar indução matemática, que é uma técnica para provar afirmações que dependem de um número inteiro
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que cada parte da equação significa. A função
é a função sucessora, ou seja,
. Já
significa aplicar a função
vezes em
. Por exemplo,
.
Passo 3
Vamos começar a provar por indução matemático. A indução tem dois passos principais: a base da indução e o passo indutivo.
Passo 4
Base da Indução: Vamos verificar se a afirmação vale para
.
Sabemos que
(applicação zero vezes da função). Então,
E,
Portanto,
. A base da indução está ok!
Passo 5
Passo Indutivo: Agora, assumimos que a afirmação é verdadeira para um valor qualquer
, ou seja,
Essa é nossa hipótese de indução.
Passo 6
Precisamos provar que a afirmação também vale para
. Ou seja, mostrar que
Vamos começar pelo lado esquerdo:
Mas, pela definição de potências de funções,
.
Passo 7
Agora, usando a hipótese de indução:
Assim, mostramos que se a afirmação vale para
, ela também vale para
.
Passo 8
Como a base da indução está verificada e o passo indutivo foi demonstrado, por indução matemática, a afirmação é verdadeira para todo
inteiro não negativo.
Resposta
Portanto, provamos que
para todo inteiro
.
Exercícios relacionados
Prove que
Mostre que
.
Dê exemplo de uma sequência decrescente de conjuntos
de conjuntos infinitos, tal que
.
Se
e
, prove que
. Nas mesmas condições, se
, prove que
.