Prove que s(s^m(n))=s^m(s(n)).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que . Isso está relacionado com funções e iteração de funções, mais especificamente com a função sucessora e suas potências . Para resolver, vamos usar indução matemática, que é uma técnica para provar afirmações que dependem de um número inteiro .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada parte da equação significa. A função é a função sucessora, ou seja, . Já significa aplicar a função vezes em . Por exemplo, .

Passo 3

Vamos começar a provar por indução matemático. A indução tem dois passos principais: a base da indução e o passo indutivo.

Passo 4

Base da Indução: Vamos verificar se a afirmação vale para s(s^0(n)) = s(n) .
Sabemos que s^0(s(n)) = s(n) (applicação zero vezes da função). Então,
E,
Portanto, . A base da indução está ok!

Passo 5

Passo Indutivo: Agora, assumimos que a afirmação é verdadeira para um valor qualquer s(s^k(n)) = s^k(s(n)) , ou seja,
Essa é nossa hipótese de indução.

Passo 6

Precisamos provar que a afirmação também vale para s(s^k+1(n)) = s^k+1(s(n)) . Ou seja, mostrar que
s(s^k+1(n)) = s(s(s^k(n))) = s^2(s^k(n))
Vamos começar pelo lado esquerdo:
Mas, pela definição de potências de funções, .

Passo 7

Agora, usando a hipótese de indução:
s^2(s^k(n)) = s(s(s^k(n))) = s(s^k(s(n))) = s^k+1(s(n))
Assim, mostramos que se a afirmação vale para , ela também vale para .

Passo 8

Como a base da indução está verificada e o passo indutivo foi demonstrado, por indução matemática, a afirmação é verdadeira para todo inteiro não negativo.

Resposta

Portanto, provamos que para todo inteiro .

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