Abaixo, determine o momento de inércia em relação a superfície S :
S: parte do cone z^2 = x^2 + y^2 entre os planos z = 1 e z = 2, sendo a densidade constante.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente precisa calcular o momento de inércia em relação à superfície , que é uma parte do cone definido por , entre os planos e . A densidade é constante, ou seja, a massa está distribuída igualmente em toda a superfície do cone. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o momento de inércia de uma superfície usando integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o momento de inércia. Ele é uma medida de como a massa está distribuída em relação a um eixo de rotação. No caso, assumiremos que o eixo de rotação é o eixo , que é natural para o nosso cone.
Como estamos lidando com uma superfície (não um sólido), usamos integrais de superfície. A fórmula geral para o momento de inércia em relação ao eixo é:
Onde:
  • é a distância de cada ponto da superfície ao eixo .
  • é a densidade superficial (constante, no caso).
  • é o elemento de área da superfície.

Passo 3

Agora, vamos parametrizar a superfície do cone. Como o cone é simétrico em relação ao eixo , usamos coordenadas cilíndricas:
Mas, dado que , temos . Então, podemos simplificar:
O ângulo varia de a , e varia de a .

Passo 4

Precisamos encontrar o elemento de área na superfície do cone. Em coordenadas cilíndricas, para uma superfície parametrizada por e , o elemento de área é dado por:
Calculando as derivadas:
Então:

Passo 5

A densidade superficial é constante, então podemos considerar . Para simplificar, vamos assumir . Se a densidade for diferente, basta multiplicar o resultado final por .
A distância de cada ponto ao eixo é simplesmente o raio . Portanto, .

Passo 6

Agora, substituindo tudo na fórmula do momento de inércia:
Como as integrais são separáveis, podemos integrar primeiro em e depois em :
A integral em é simples:

Passo 7

Focando na integral em :
Fazemos uma substituição , então , ou . Mas precisamos ajustar a integral:
Substituindo:
Como , também temos . Substituindo novamente:
Essa integral pode ser resolvida por métodos de substituição ou tabelas de integrais, resultando em:
Avaliando de a :
Simplificando:

Passo 8

Agora, juntando tudo:

Resposta

O momento de inércia em relação ao eixo da superfície é:

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