Abaixo, determine o momento de inércia em relação a superfície
:
S: parte do cone
entre os planos
e
, sendo a densidade constante.
S: parte do cone
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente precisa calcular o momento de inércia em relação à superfície
, que é uma parte do cone definido por
, entre os planos
e
. A densidade é constante, ou seja, a massa está distribuída igualmente em toda a superfície do cone. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o momento de inércia de uma superfície usando integração.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o momento de inércia. Ele é uma medida de como a massa está distribuída em relação a um eixo de rotação. No caso, assumiremos que o eixo de rotação é o eixo
, que é natural para o nosso cone.
Como estamos lidando com uma superfície (não um sólido), usamos integrais de superfície. A fórmula geral para o momento de inércia
em relação ao eixo
é:
Onde:
-
é a distância de cada ponto da superfície ao eixo . -
é a densidade superficial (constante, no caso). -
é o elemento de área da superfície.
Passo 3
Agora, vamos parametrizar a superfície do cone. Como o cone é simétrico em relação ao eixo
, usamos coordenadas cilíndricas:
Mas, dado que
, temos
. Então, podemos simplificar:
O ângulo
varia de
a
, e
varia de
a
.
Passo 4
Precisamos encontrar o elemento de área
na superfície do cone. Em coordenadas cilíndricas, para uma superfície parametrizada por
e
, o elemento de área é dado por:
Calculando as derivadas:
Então:
Passo 5
A densidade superficial
é constante, então podemos considerar
. Para simplificar, vamos assumir
. Se a densidade for diferente, basta multiplicar o resultado final por
.
A distância
de cada ponto ao eixo
é simplesmente o raio
. Portanto,
.
Passo 6
Agora, substituindo tudo na fórmula do momento de inércia:
Como as integrais são separáveis, podemos integrar primeiro em
e depois em
:
A integral em
é simples:
Passo 7
Focando na integral em
:
Fazemos uma substituição
, então
, ou
. Mas precisamos ajustar a integral:
Substituindo:
Como
, também temos
. Substituindo novamente:
Essa integral pode ser resolvida por métodos de substituição ou tabelas de integrais, resultando em:
Avaliando de
a
:
Simplificando:
Passo 8
Agora, juntando tudo:
Resposta
O momento de inércia em relação ao eixo
da superfície
é: