Calcula a massa de uma lâmina, que tem a forma da parte do plano z = x recortada pelo cilindro (x-1)² + y² = 1 cuja densidade no ponto (x, y, z) é proporcional à distância desse ponto ao plano xy.

Passo 1

Resumo do Enunciado e Conceitos Envolvidos:
Estamos querendo calcular a massa de uma lâmina que tem a forma da parte do plano recortada pelo cilindro . A densidade em cada ponto dessa lâmina é proporcional à distância desse ponto ao plano . Para resolver esse exercício, vamos utilizar conceitos de Cálculo Integral, especificamente integrais duplas, além de entender como descrever regiões no espaço tridimensional.

Passo 2

Entendendo a Densidade da Lâmina:
A densidade é proporcional à distância do ponto ao plano . Sabemos que a distância de um ponto ao plano é simplesmente . Como a lâmina está no plano , temos que , então a distância é .
Vamos considerar que a densidade é dada por:
onde é a constante de proporcionalidade.

Passo 3

Configurando a Integral para a Massa:
A massa da lâmina pode ser calculada integrando a densidade sobre toda a região da lâmina. Ou seja:
Substituindo a densidade:
Como varia de 0 a 2 no cilindro definido, e (já que é positivo nessa região), a integral simplifica para:

Passo 4

Definindo os Limites de Integração:
A região é a interseção do plano com o cilindro . Esse cilindro é um círculo de raio 1 centrado em no plano .
Para definir os limites de integração em coordenadas cartesianas:
  • varia de 0 a 2.
  • Para cada , varia de a .
Portanto, a massa fica:

Passo 5

Calculando a Integral Interna (em ):
Primeiro, resolvemos a integral em relação a :
Então, a massa agora é:

Passo 6

Simplificando a Integral com Substituição:
Vamos simplificar a integral usando uma substituição. Seja , então . Quando , e quando , . Substituindo:
Expandindo o integrando:

Passo 7

Resolvendo as Integrais Separadamente:
  1. Primeira Integral:
Essa integral é ímpar e, portanto, igual a zero.
  1. Segunda Integral:
Essa é a integral que representa a área de um semicírculo de raio 1, cujo valor é . Mas considerando o intervalo de a , temos a área de um círculo completo:
Portanto:

Resposta

A massa da lâmina é .

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