Calcula a massa de uma lâmina, que tem a forma da parte do plano
recortada pelo cilindro
cuja densidade no ponto
é proporcional à distância desse ponto ao plano xy.
Passo 1
Resumo do Enunciado e Conceitos Envolvidos:
Estamos querendo calcular a massa de uma lâmina que tem a forma da parte do plano
recortada pelo cilindro
. A densidade em cada ponto
dessa lâmina é proporcional à distância desse ponto ao plano
. Para resolver esse exercício, vamos utilizar conceitos de Cálculo Integral, especificamente integrais duplas, além de entender como descrever regiões no espaço tridimensional.
Passo 2
Entendendo a Densidade da Lâmina:
A densidade
é proporcional à distância do ponto
ao plano
. Sabemos que a distância de um ponto
ao plano
é simplesmente
. Como a lâmina está no plano
, temos que
, então a distância é
.
Vamos considerar que a densidade é dada por:
onde
é a constante de proporcionalidade.
Passo 3
Configurando a Integral para a Massa:
A massa
da lâmina pode ser calculada integrando a densidade sobre toda a região da lâmina. Ou seja:
Substituindo a densidade:
Como
varia de 0 a 2 no cilindro definido, e
(já que
é positivo nessa região), a integral simplifica para:
Passo 4
Definindo os Limites de Integração:
A região
é a interseção do plano
com o cilindro
. Esse cilindro é um círculo de raio 1 centrado em
no plano
.
Para definir os limites de integração em coordenadas cartesianas:
-
varia de 0 a 2. - Para cada
, varia de a .
Portanto, a massa fica:
Passo 5
Calculando a Integral Interna (em
):
Primeiro, resolvemos a integral em relação a
:
Então, a massa agora é:
Passo 6
Simplificando a Integral com Substituição:
Vamos simplificar a integral usando uma substituição. Seja
, então
. Quando
,
e quando
,
. Substituindo:
Expandindo o integrando:
Passo 7
Resolvendo as Integrais Separadamente:
- Primeira Integral:
Essa integral é ímpar e, portanto, igual a zero.
- Segunda Integral:
Essa é a integral que representa a área de um semicírculo de raio 1, cujo valor é
. Mas considerando o intervalo de
a
, temos a área de um círculo completo:
Portanto:
Resposta
A massa da lâmina é
.