Calcule o fluxo do campo vetorial pedidos abaixo:
através da semi-esfera superior
, com campo de vetores normais
tal que
.
Passo 1
Beleza, então o que a gente precisa fazer aqui é calcular o fluxo do campo vetorial
através da semi-esfera superior definida por
. Isso envolve entender conceitos de cálculo vetorial, como integrais de superfície e fluxos de campos vetoriais. Vamos precisar utilizar a definição de fluxo e possivelmente simplificar o cálculo usando o Teorema da Divergência.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é fluxo. O fluxo de um campo vetorial
através de uma superfície
é uma medida de quanto do campo passa através dessa superfície. Matematicamente, é definido pela integral de superfície:
Aqui,
é o vetor normal à superfície
, e
é um elemento de área da superfície.
Passo 3
Agora, vamos aplicar esse conceito à nossa semi-esfera superior. A equação
descreve uma esfera de raio 1 centrada na origem. Como estamos considerando apenas a semi-esfera superior,
, e o vetor normal
deve apontar para fora da esfera, ou seja, na direção positiva de
(o eixo z).
Passo 4
Para calcular a integral de fluxo, podemos usar o Teorema da Divergência, que relaciona o fluxo através de uma superfície fechada com a divergência do campo vetorial dentro do volume limitado por essa superfície. No nosso caso, como temos apenas a semi-esfera, precisamos fechar a superfície com a base do hemisfério (o disco
,
).
O Teorema da Divergência diz que:
Onde
é o volume interno à superfície fechada.
Passo 5
Primeiro, vamos calcular a divergência do campo
:
Passo 6
Agora, vamos calcular o volume
da semi-esfera. Sabemos que o volume de uma esfera completa de raio
é
. Como estamos lidando com uma semi-esfera, o volume será metade disso:
Passo 7
Aplicando o Teorema da Divergência:
Passo 8
Lembrando que
é o fluxo através de toda a superfície fechada (semi-esfera mais a base). A base é um disco no plano
. Vamos calcular o fluxo através da base e subtrair desse valor para encontrar apenas o fluxo através da semi-esfera.
Na base, o vetor normal
aponta na direção negativa de
, então:
Mas na base,
, então
.
Passo 9
Portanto, o fluxo através da semi-esfera é igual ao fluxo total:
Resposta
O fluxo do campo vetorial através da semi-esfera superior é
.