Calcule o fluxo do campo vetorial pedidos abaixo:
F = (x - y - 4, y, z) através da semi-esfera superior x^2 + y^2 + z^2 = 1, com campo de vetores normais n tal que n . k > 0.

Passo 1

Beleza, então o que a gente precisa fazer aqui é calcular o fluxo do campo vetorial através da semi-esfera superior definida por . Isso envolve entender conceitos de cálculo vetorial, como integrais de superfície e fluxos de campos vetoriais. Vamos precisar utilizar a definição de fluxo e possivelmente simplificar o cálculo usando o Teorema da Divergência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é fluxo. O fluxo de um campo vetorial através de uma superfície é uma medida de quanto do campo passa através dessa superfície. Matematicamente, é definido pela integral de superfície:
Aqui, é o vetor normal à superfície , e é um elemento de área da superfície.

Passo 3

Agora, vamos aplicar esse conceito à nossa semi-esfera superior. A equação descreve uma esfera de raio 1 centrada na origem. Como estamos considerando apenas a semi-esfera superior, , e o vetor normal deve apontar para fora da esfera, ou seja, na direção positiva de (o eixo z).

Passo 4

Para calcular a integral de fluxo, podemos usar o Teorema da Divergência, que relaciona o fluxo através de uma superfície fechada com a divergência do campo vetorial dentro do volume limitado por essa superfície. No nosso caso, como temos apenas a semi-esfera, precisamos fechar a superfície com a base do hemisfério (o disco , ).
O Teorema da Divergência diz que:
Onde é o volume interno à superfície fechada.

Passo 5

Primeiro, vamos calcular a divergência do campo :

Passo 6

Agora, vamos calcular o volume da semi-esfera. Sabemos que o volume de uma esfera completa de raio é . Como estamos lidando com uma semi-esfera, o volume será metade disso:

Passo 7

Aplicando o Teorema da Divergência:

Passo 8

Lembrando que é o fluxo através de toda a superfície fechada (semi-esfera mais a base). A base é um disco no plano . Vamos calcular o fluxo através da base e subtrair desse valor para encontrar apenas o fluxo através da semi-esfera.
Na base, o vetor normal aponta na direção negativa de , então:
Mas na base, , então .

Passo 9

Portanto, o fluxo através da semi-esfera é igual ao fluxo total:

Resposta

O fluxo do campo vetorial através da semi-esfera superior é .

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