Calcule
ndS, onde:
e
é a fronteira com a região limitada por
e
, com n exterior a
.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a gente precisa fazer aqui. A questão pede para calcularmos a integral de superfície
, onde o campo vetorial é
. A superfície
é a fronteira de uma região limitada por
(um plano horizontal) e
(uma parábola circular). Além disso, o vetor normal
está apontando para fora de
. Para resolver isso, vamos precisar usar o Teorema da Divergência, que relaciona a integral de superfície com uma integral de volume.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema da Divergência. Esse teorema nos diz que:
Isso significa que a integral de fluxo do campo
através da superfície
é igual à integral do divergente de
sobre o volume
limitado por
. Então, nosso próximo passo é calcular o divergente de
.
Passo 3
Vamos calcular o divergente de
. O divergente de um campo vetorial
é dado por:
No nosso caso,
, então:
Então, o divergente de
é
.
Passo 4
Agora que sabemos que
, a integral de volume fica mais simples:
Ou seja, precisamos calcular o volume
da região limitada por
e
. Vamos usar coordenadas cilíndricas para facilitar os cálculos.
Passo 5
Em coordenadas cilíndricas
, as equações ficam:
O raio
varia de
a quando as duas superfícies se encontram, ou seja, quando
. Então, os limites de integração são:
-
de a -
de a -
de a
Passo 6
Vamos montar a integral tripla para o volume:
Aqui, o
vem do elemento de volume em coordenadas cilíndricas (
).
Passo 7
Vamos integrar em relação a
primeiro:
Agora, a integral fica:
Passo 8
Integramos agora em relação a
:
Então, a integral fica:
Resposta
A integral de superfície é igual a
.