Calcule integral duplaS F cdot ndS, onde:
F=(-x, 0,2 z) e S é a fronteira com a região limitada por z=1 e z=x^2+y^2, com n exterior a S.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a gente precisa fazer aqui. A questão pede para calcularmos a integral de superfície integral duplaS F cdot n , dS, onde o campo vetorial é F = (-x, 0, 2z). A superfície S é a fronteira de uma região limitada por z = 1 (um plano horizontal) e z = x^2 + y^2 (uma parábola circular). Além disso, o vetor normal n está apontando para fora de S. Para resolver isso, vamos precisar usar o Teorema da Divergência, que relaciona a integral de superfície com uma integral de volume.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema da Divergência. Esse teorema nos diz que:
integral duplaS F cdot n , dS = integral triplaV (nabla cdot F) , dV
Isso significa que a integral de fluxo do campo F através da superfície S é igual à integral do divergente de F sobre o volume V limitado por S. Então, nosso próximo passo é calcular o divergente de F.

Passo 3

Vamos calcular o divergente de F. O divergente de um campo vetorial F = (Fx, Fy, Fz) é dado por:
nabla cdot F = partial Fxpartial x + partial Fypartial y + partial Fzpartial z
No nosso caso, F = (-x, 0, 2z), então:
nabla cdot F = partial (-x)partial x + partial 0partial y + partial (2z)partial z = -1 + 0 + 2 = 1
Então, o divergente de F é 1.

Passo 4

Agora que sabemos que nabla cdot F = 1, a integral de volume fica mais simples:
integral triplaV (nabla cdot F) , dV = integral triplaV 1 , dV
Ou seja, precisamos calcular o volume V da região limitada por z = 1 e z = x^2 + y^2. Vamos usar coordenadas cilíndricas para facilitar os cálculos.

Passo 5

Em coordenadas cilíndricas (r, theta, z), as equações ficam:
z = 1 e z = r^2
O raio r varia de 0 a quando as duas superfícies se encontram, ou seja, quando 1 = r^2 Rightarrow r = 1. Então, os limites de integração são:
  • r de 0 a 1
  • theta de 0 a 2pi
  • z de r^2 a 1

Passo 6

Vamos montar a integral tripla para o volume:
V = integral0^2pi integral0^1 integralr^2^1 r , dz , dr , dtheta
Aqui, o r vem do elemento de volume em coordenadas cilíndricas ( r , dz , dr , dtheta).

Passo 7

Vamos integrar em relação a z primeiro:
integralr^2^1 r , dz = r [z]r^2^1 = r (1 - r^2)
Agora, a integral fica:
V = integral0^2pi integral0^1 r (1 - r^2) , dr , dtheta

Passo 8

Integramos agora em relação a r:
integral0^1 r (1 - r^2) , dr = integral0^1 (r - r^3) , dr = [ r^22 - r^44 ]0^1 = 12 - 14 = 14
Então, a integral fica:
V = integral0^2pi 14 , dtheta = 14 cdot 2pi = pi2

Resposta

A integral de superfície é igual a dfracpi2.

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