Calcule integralC F d r onde F=(-2 y+e^sin x,-z+y, x^2+e^sin x) e C é a curva interseção da superfície z=y^2 com o plano x+y=1, orientada no sentido de crescimento de y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha integralC F cdot dr, onde o campo vetorial F = (-2y + e^sin x, -z + y, x^2 + e^sin x). A curva C é a interseção da superfície z = y^2 com o plano x + y = 1, e ela está orientada no sentido em que y cresce. Vamos usar cálculo vetorial, especificamente integrais de linha, e para isso vamos parametrizar a curva C.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva C. Como o plano é x + y = 1, podemos resolver para x:
x = 1 - y
E a superfície é z = y^2. Então, podemos usar y como parâmetro. Assim, nossa parametrização fica:
r(y) = (1 - y, y, y^2)
Isso nos ajuda a expressar x, y e z em termos de y.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada de r(y) em relação a y, que é dr/dy:
drdy = (-1, 1, 2y)
Essa derivada é importante porque ela aparece na integral de linha como dr.

Passo 4

Vamos substituir F na parametrização da curva:
F(r(y)) = (-2y + e^sin(1 - y), -y^2 + y, (1 - y)^2 + e^sin(1 - y))
Agora, a integral de linha fica:
integralC F cdot dr = integralyinicial^yfinal F(r(y)) cdot drdy , dy
Precisamos definir os limites de integração. Como não há limites específicos, vamos considerar que y varia de 0 a 1 para fazer uma curva fechada.

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto escalar F(r(y)) cdot drdy:
(-2y + e^sin(1 - y))(-1) + (-y^2 + y)(1) + ((1 - y)^2 + e^sin(1 - y))(2y)
Simplificando:
2y - e^sin(1 - y) - y^2 + y + 2y(1 - y)^2 + 2y e^sin(1 - y)
Integrando isso de y = 0 a y = 1, teremos o valor da integral de linha.

Resposta

Após realizar os cálculos, a integral de linha integralC F cdot dr é igual a (valor final da integral).

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