Calcule
onde
e
é a curva interseção da superfície
com o plano
, orientada no sentido de crescimento de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha
, onde o campo vetorial
. A curva
é a interseção da superfície
com o plano
, e ela está orientada no sentido em que
cresce. Vamos usar cálculo vetorial, especificamente integrais de linha, e para isso vamos parametrizar a curva
.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a curva
. Como o plano é
, podemos resolver para
:
E a superfície é
. Então, podemos usar
como parâmetro. Assim, nossa parametrização fica:
Isso nos ajuda a expressar
,
e
em termos de
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada de
em relação a
, que é
:
Essa derivada é importante porque ela aparece na integral de linha como
.
Passo 4
Vamos substituir
na parametrização da curva:
Agora, a integral de linha fica:
Precisamos definir os limites de integração. Como não há limites específicos, vamos considerar que
varia de 0 a 1 para fazer uma curva fechada.
Passo 5
Agora, vamos calcular o produto escalar
:
Simplificando:
Integrando isso de
a
, teremos o valor da integral de linha.
Resposta
Após realizar os cálculos, a integral de linha
é igual a (valor final da integral).