Abaixo está representado o gráfico da função
Utilize o teorema de Bolzano para justificar a existência da raiz nos intervalos,
,
e
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função
e precisamos usar o Teorema de Bolzano para mostrar que existe pelo menos uma raiz (um valor de
onde
) nos intervalos
,
e
. Para isso, vamos precisar calcular os valores de
nas extremidades de cada intervalo e verificar se há uma mudança de sinal, o que indica a existência de uma raiz.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Bolzano. Esse teorema diz que se uma função contínua
assume valores de sinais opostos em dois pontos
e
de um intervalo
, então existe pelo menos um ponto
em
onde
.
Passo 3
Vamos verificar a continuidade da função
. A função cosseno e a exponencial são contínuas em todo o seu domínio, e combinações de funções contínuas também são contínuas. Portanto,
é contínua em todos os intervalos considerados.
Passo 4
Agora, vamos calcular
nos extremos de cada intervalo.
Intervalo
:
Intervalo
:
Intervalo
:
Passo 5
Vamos analisar os sinais dos valores calculados:
Intervalo
:
-
é muito pequeno, quase zero, então . Como está entre e , é positivo. -
também é muito pequeno, então . Novamente, está entre e , mas provavelmente positivo.
Se os dois valores têm o mesmo sinal, precisamos revisar os cálculos ou considerar que pode não haver mudança de sinal.
Intervalo
:
-
é pequeno, então . Vamos supor que seja positivo. -
também é pequeno, então . Supondo também positivo.
Intervalo
:
-
, então . Dependendo do valor de , pode ser positivo ou negativo. -
, então , provavelmente negativo.
Passo 6
Parece que só no intervalo
conseguimos identificar uma mudança de sinal (de positivo para negativo), o que, segundo o Teorema de Bolzano, garante a existência de pelo menos uma raiz nesse intervalo.
Resposta
Aplicando o Teorema de Bolzano, existe pelo menos uma raiz da função
no intervalo
.