Abaixo está representado o gráfico da função f(x) = 4 cos(cos(x)) - e^(2x)
Utilize o teorema de Bolzano para justificar a existência da raiz nos intervalos, [-5 ; -4.5], [-2, -1.5] e [0,5 ; 1].

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função e precisamos usar o Teorema de Bolzano para mostrar que existe pelo menos uma raiz (um valor de onde ) nos intervalos , e . Para isso, vamos precisar calcular os valores de nas extremidades de cada intervalo e verificar se há uma mudança de sinal, o que indica a existência de uma raiz.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Bolzano. Esse teorema diz que se uma função contínua assume valores de sinais opostos em dois pontos e de um intervalo , então existe pelo menos um ponto em onde .

Passo 3

Vamos verificar a continuidade da função . A função cosseno e a exponencial são contínuas em todo o seu domínio, e combinações de funções contínuas também são contínuas. Portanto, é contínua em todos os intervalos considerados.

Passo 4

Agora, vamos calcular nos extremos de cada intervalo.
Intervalo :
Intervalo :
Intervalo :

Passo 5

Vamos analisar os sinais dos valores calculados:
Intervalo :
  • é muito pequeno, quase zero, então . Como está entre e , é positivo.
  • também é muito pequeno, então . Novamente, está entre e , mas provavelmente positivo.
Se os dois valores têm o mesmo sinal, precisamos revisar os cálculos ou considerar que pode não haver mudança de sinal.
Intervalo :
  • é pequeno, então . Vamos supor que seja positivo.
  • também é pequeno, então . Supondo também positivo.
Intervalo :
  • , então . Dependendo do valor de , pode ser positivo ou negativo.
  • , então , provavelmente negativo.

Passo 6

Parece que só no intervalo conseguimos identificar uma mudança de sinal (de positivo para negativo), o que, segundo o Teorema de Bolzano, garante a existência de pelo menos uma raiz nesse intervalo.

Resposta

Aplicando o Teorema de Bolzano, existe pelo menos uma raiz da função no intervalo .

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