Abaixo está representado o gráfico da função
Use ferramentas de Cálculo Diferencial e Integral para justificar o por que podemos afirmar que em cada um desses intervalos existe uma só raiz
Passo 1
Então, vamos lá! O enunciado fala sobre a função
e nos pede para usar ferramentas de Cálculo Diferencial e Integral para justificar por que, em cada intervalo indicado no gráfico, existe apenas uma raiz dessa função. Basicamente, queremos mostrar que em cada pedaço do gráfico onde estamos olhando, a função cruza o eixo
apenas uma vez. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre continuidade, derivadas e o Teorema de Bolzano.
Passo 2
Primeiro, precisamos saber que a função
é contínua em todo o seu domínio. Isso porque a função cosseno e a função exponencial são contínuas, e a combinação delas por soma e subtração também é contínua. A continuidade é importante porque nos permite usar o Teorema de Bolzano, que diz que se uma função contínua muda de sinal em um intervalo, então existe pelo menos uma raiz nesse intervalo.
Passo 3
Agora, vamos analisar a derivada da função para entender o comportamento dela, ou seja, se ela está sempre aumentando ou sempre diminuindo em cada intervalo. A derivada de
é:
Passo 4
Para garantir que existe apenas uma raiz em cada intervalo, vamos precisar mostrar que
não muda de sinal nesses intervalos, ou seja, que
é estritamente crescente ou estritamente decrescente. Se a derivada for sempre negativa ou sempre positiva, isso significa que a função não terá picos ou vales nesses intervalos, então ela só pode cruzar o eixo
uma vez.
Passo 5
Observando a derivada
, notamos que o termo
cresce muito rápido e, para valores de
positivos, esse termo dominará a derivada, fazendo com que
seja negativo. Isso indica que a função
está sempre diminuindo nesses intervalos, o que implica que ela só cruza o eixo
uma vez.
Resposta
Portanto, usando a continuidade da função e analisando sua derivada, podemos afirmar que em cada intervalo do gráfico da função
existe apenas uma única raiz.