Abaixo está representado o gráfico da função f(x) = 4 cos(cos(x)) - e^(2x)
Use ferramentas de Cálculo Diferencial e Integral para justificar o por que podemos afirmar que em cada um desses intervalos existe uma só raiz

Passo 1

Então, vamos lá! O enunciado fala sobre a função e nos pede para usar ferramentas de Cálculo Diferencial e Integral para justificar por que, em cada intervalo indicado no gráfico, existe apenas uma raiz dessa função. Basicamente, queremos mostrar que em cada pedaço do gráfico onde estamos olhando, a função cruza o eixo apenas uma vez. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre continuidade, derivadas e o Teorema de Bolzano.

Passo 2

Primeiro, precisamos saber que a função é contínua em todo o seu domínio. Isso porque a função cosseno e a função exponencial são contínuas, e a combinação delas por soma e subtração também é contínua. A continuidade é importante porque nos permite usar o Teorema de Bolzano, que diz que se uma função contínua muda de sinal em um intervalo, então existe pelo menos uma raiz nesse intervalo.

Passo 3

Agora, vamos analisar a derivada da função para entender o comportamento dela, ou seja, se ela está sempre aumentando ou sempre diminuindo em cada intervalo. A derivada de é:

Passo 4

Para garantir que existe apenas uma raiz em cada intervalo, vamos precisar mostrar que não muda de sinal nesses intervalos, ou seja, que é estritamente crescente ou estritamente decrescente. Se a derivada for sempre negativa ou sempre positiva, isso significa que a função não terá picos ou vales nesses intervalos, então ela só pode cruzar o eixo uma vez.

Passo 5

Observando a derivada , notamos que o termo cresce muito rápido e, para valores de positivos, esse termo dominará a derivada, fazendo com que seja negativo. Isso indica que a função está sempre diminuindo nesses intervalos, o que implica que ela só cruza o eixo uma vez.

Resposta

Portanto, usando a continuidade da função e analisando sua derivada, podemos afirmar que em cada intervalo do gráfico da função existe apenas uma única raiz.

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