Seja, . Determine uma equação da reta tangente no ponto à curva de nível que passa pelo ponto .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função . O que a gente precisa fazer é encontrar a equação da reta tangente no ponto para a curva de nível que também passa pelo ponto . Vamos precisar usar cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais e conhecimentos sobre curvas de nível e retas tangentes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma curva de nível. Uma curva de nível de uma função é o conjunto de pontos onde o valor da função é constante, ou seja, , onde é uma constante.
Passo 3
No nosso caso, a curva de nível passa pelos pontos e . Vamos calcular o valor de nesses pontos para encontrar o valor de .
Para o ponto :
Então, a curva de nível é .
Passo 4
Agora, queremos encontrar a equação da reta tangente a essa curva de nível no ponto . Para isso, precisamos encontrar a derivada de em relação a na curva de nível, ou seja, .
Passo 5
Para encontrar , vamos usar derivadas implícitas. Começamos com a equação da curva de nível:
Multiplicando ambos os lados por :
Agora, derivamos ambos os lados em relação a :
Passo 6
Vamos isolar :
Passo 7
Agora, substituímos e na expressão da derivada para encontrar a inclinação da reta tangente:
Aqui, percebemos que a inclinação é indefinida, o que significa que a reta tangente é vertical.
Passo 8
Uma reta vertical tem a forma , onde é a abscissa do ponto de tangência. No nosso caso, .