Um certo equipamento de 20000 euros vai ser pago durante 6 anos. O pagamento anual é de 4000 euros. A relação entre o custo do equipamento P, o pagamento anual A, o número de anos n e a taxa de juro i é a seguinte:
Utilize o método iterativo mais adequado para determinar a taxa de juro utilizada nos cálculos. O valor da taxa de juro pertence ao intervalo 0.05, 0.15]. Para a paragem do processo iterativo use ε1 = ε2 = 0.05.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um equipamento que custa 20.000 euros e vai pagar 4.000 euros por ano durante 6 anos. A gente precisa descobrir qual é a taxa de juros usada nesse financiamento. Para isso, vamos usar um método iterativo, que é tipo uma aproximação passo a passo, e vamos procurar a taxa de juros dentro do intervalo de 5% a 15%. Vamos precisar da fórmula do valor presente de uma anuidade e entender como aplicar o método de bissecção para encontrar a taxa exata.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da fórmula do valor presente de uma anuidade, que nos ajuda a relacionar o valor presente §, o pagamento anual (A), a taxa de juros (i) e o número de anos (n). A fórmula é:
Aqui, queremos encontrar o valor de que satisfaz essa equação com os valores que temos: euros, euros, e anos.

Passo 3

Vamos organizar a equação para facilitar a resolução:
Dividindo ambos os lados por 4000:
Agora, temos uma equação que não é fácil de resolver diretamente para , por isso vamos usar o método de bissecção, que é um método iterativo para encontrar raízes de funções.

Passo 4

O método de bissecção funciona dividindo o intervalo inicial em dois e verificando em qual metade a solução está. Vamos começar com o intervalo .
  1. Primeira Iteração:
    Calculamos a função :
    Como , a solução está entre 0.05 e 0.10.
  2. Segunda Iteração:
    Ainda, , então a solução está entre 0.05 e 0.075.

Passo 5

Continuamos assim até que a diferença entre e seja menor que o erro permitido .
  1. Terceira Iteração:
    Agora, está muito próximo de 5, e a diferença é menor que . Portanto, podemos parar aqui.

Resposta

A taxa de juro utilizada nos cálculos é aproximadamente 6,25%.

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