Um certo equipamento de 20000 euros vai ser pago durante 6 anos. O pagamento anual é de 4000 euros. A relação entre o custo do equipamento
, o pagamento anual
número de anos
e a taxa de juro i é a seguinte:
Utilize o método iterativo mais adequado para determinar a taxa de juro utilizada nos cálculos. O valor da taxa de juro pertence ao intervalo
, 0.15]. Para a paragem do processo iterativo use
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um equipamento que custa 20.000 euros e vai pagar 4.000 euros por ano durante 6 anos. A gente precisa descobrir qual é a taxa de juros usada nesse financiamento. Para isso, vamos usar um método iterativo, que é tipo uma aproximação passo a passo, e vamos procurar a taxa de juros dentro do intervalo de 5% a 15%. Vamos precisar da fórmula do valor presente de uma anuidade e entender como aplicar o método de bissecção para encontrar a taxa exata.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da fórmula do valor presente de uma anuidade, que nos ajuda a relacionar o valor presente §, o pagamento anual (A), a taxa de juros (i) e o número de anos (n). A fórmula é:
Aqui, queremos encontrar o valor de
que satisfaz essa equação com os valores que temos:
euros,
euros, e
anos.
Passo 3
Vamos organizar a equação para facilitar a resolução:
Dividindo ambos os lados por 4000:
Agora, temos uma equação que não é fácil de resolver diretamente para
, por isso vamos usar o método de bissecção, que é um método iterativo para encontrar raízes de funções.
Passo 4
O método de bissecção funciona dividindo o intervalo inicial em dois e verificando em qual metade a solução está. Vamos começar com o intervalo
.
-
Primeira Iteração:Calculamos a função
: Como, a solução está entre 0.05 e 0.10. -
-
Segunda Iteração:Ainda,
, então a solução está entre 0.05 e 0.075. -
Passo 5
Continuamos assim até que a diferença entre
e
seja menor que o erro permitido
.
-
Terceira Iteração:Agora,
está muito próximo de 5, e a diferença é menor que . Portanto, podemos parar aqui. -
Resposta
A taxa de juro utilizada nos cálculos é aproximadamente 6,25%.