Usando o método de Newton, resolva a equação ln(ln(x)) + x - 4 = 0, com ε = 0,001.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação usando o Método de Newton. Essa equação envolve funções logarítmicas e lineares, então vamos precisar entender como aplicar o Método de Newton para encontrar raízes de equações. O objetivo é encontrar um valor de x que satisfaça a equação com uma precisão de .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação de forma que fique igual a zero:
Queremos encontrar o valor de x que faz .

Passo 3

O Método de Newton requer a derivada da função f(x). Vamos calcular :

Passo 4

Escolhemos um palpite inicial para x. Vamos tentar .

Passo 5

Aplicamos a fórmula do Método de Newton:
Calculando para :
Aqui percebemos que , mas , que é um número real. Então:
Então:

Passo 6

Vamos repetir o processo para :
Calculando:
Então:
Então:

Passo 7

Verificamos a diferença entre e :
Ainda não atingimos a precisão desejada, então continuamos.

Passo 8

Calculamos para :
Calculando:
Então:
Então:

Resposta

A solução da equação pelo Método de Newton, com precisão , é aproximadamente .

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