Abaixo, são apresentados um conjunto V com as operações de adição e multiplicação por escalar nele definidas. Verifique se eles são espaços vetoriais. Para aquele que não for, citar os axiomas que não se verificam. Para quaisquer (a, b),(c, d) em V e alpha escalar real, sejam:
V=R^2 ;(a, b)+(c, d)=(a+b, c+d) e alpha(a, b)=(alpha^2 a, alpha^2 b).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um conjunto , que normalmente é o espaço vetorial padrão de pares ordenados de números reais. Porém, aqui as operações de adição e de multiplicação por escalar são diferentes:
  • Adição:
  • Multiplicação por escalar:
O conteúdo envolvido é espaços vetoriais, e para resolver o exercício, precisamos verificar se essas operações satisfazem todos os axiomas de um espaço vetorial. Caso algum axioma não seja atendido, devemos identificar qual.

Passo 2

Vamos relembrar rapidamente os axiomas que um conjunto com essas operações precisa satisfazer para ser considerado um espaço vetorial. São eles:
  1. Fechamento da Adição: A soma de dois vetores está dentro de .
  2. Comutatividade da Adição: .
  3. Associatividade da Adição: .
  4. Elemento Neutro da Adição: Existe um vetor tal que .
  5. Existência de Inversos Aditivos: Para cada existe tal que .
  6. Fechamento da Multiplicação por Escalar: A multiplicação de um vetor por um escalar está dentro de .
  7. Distributividade da Multiplicação por Escalar em relação à Adição de Vetores: .
  8. Distributividade da Multiplicação por Escalar em relação à Adição de Escalares: .
  9. Compatibilidade da Multiplicação por Escalar com a Multiplicação de Escalares: .
  10. Elemento Neutro da Multiplicação por Escalar: .
Vamos verificar cada um desses axiomas com as operações dadas.

Passo 3

Axioma 1: Fechamento da Adição
Para quaisquer e em , a soma é . Como e são números reais, também está em . Portanto, o fechamento da adição é satisfeito.

Passo 4

Axioma 2: Comutatividade da Adição
Vamos verificar se (a, b) + (c, d) = (a + b, c + d) .
(c, d) + (a, b) = (c + d, a + b)
Para que sejam iguais, precisamos que . Isso só é verdade se , o que nem sempre acontece. Portanto, a comutatividade da adição não é satisfeita.

Passo 5

Axioma 3: Associatividade da Adição
Mesmo já tendo identificado que o axioma da comutatividade não é satisfeito, vamos continuar para confirmar outros possíveis problemas. Verificamos:
((a, b) + (c, d)) + (e, f) = (a + b, c + d) + (e, f) = ((a + b) + (c + d), e + f)
(a, b) + ((c, d) + (e, f)) = (a, b) + (c + d, e + f) = (a + b, (c + d) + (e + f))
Simplificando:
((a + b) + (c + d), e + f) neq (a + b, c + d + e + f)
A não associatividade pode causar inconsistências, mas como já sabemos que a comutatividade falha, isso por si já impede de ser um espaço vetorial.

Passo 6

Axioma 4: Elemento Neutro da Adição
Vamos procurar um vetor (a + b, x + y) = (a, b) tal que a + b = a e x + y = b .
Isso implica que:
A primeira equação só é verdadeira se , mas queremos que funcione para qualquer . Portanto, não existe um elemento neutro que funcione para todos os vetores, o que viola o axioma do elemento neutro da adição.

Passo 7

Axioma 5: Existência de Inversos Aditivos
Como não temos um elemento neutro válido para a adição, não podemos definir inversos aditivos de forma consistente para todos os vetores. Portanto, este axioma também não é satisfeito.

Passo 8

Axioma 6: Fechamento da Multiplicação por Escalar
A multiplicação por escalar está definida como . Como e são números reais, o resultado está dentro de . Portanto, o fechamento da multiplicação por escalar é satisfeito.

Passo 9

Axioma 10: Elemento Neutro da Multiplicação por Escalar
Verificamos se 1(a, b) = (1^2 a, 1^2 b) = (a, b) :
Esse axioma está satisfeito.

Resposta

O conjunto com as operações definidas não é um espaço vetorial, pois não satisfaz os axiomas de comutatividade da adição, existência do elemento neutro da adição e existência de inversos aditivos.

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