Abaixo, são apresentados um conjunto
com as operações de adição e multiplicação por escalar nele definidas. Verifique se eles são espaços vetoriais. Para aquele que não for, citar os axiomas que não se verificam. Para quaisquer
em
e
escalar real, sejam:
e
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um conjunto
, que normalmente é o espaço vetorial padrão de pares ordenados de números reais. Porém, aqui as operações de adição e de multiplicação por escalar são diferentes:
- Adição:
- Multiplicação por escalar:
O conteúdo envolvido é espaços vetoriais, e para resolver o exercício, precisamos verificar se essas operações satisfazem todos os axiomas de um espaço vetorial. Caso algum axioma não seja atendido, devemos identificar qual.
Passo 2
Vamos relembrar rapidamente os axiomas que um conjunto com essas operações precisa satisfazer para ser considerado um espaço vetorial. São eles:
- Fechamento da Adição: A soma de dois vetores está dentro de
. - Comutatividade da Adição:
. - Associatividade da Adição:
. - Elemento Neutro da Adição: Existe um vetor
tal que . - Existência de Inversos Aditivos: Para cada
existe tal que . - Fechamento da Multiplicação por Escalar: A multiplicação de um vetor por um escalar está dentro de
. - Distributividade da Multiplicação por Escalar em relação à Adição de Vetores:
. - Distributividade da Multiplicação por Escalar em relação à Adição de Escalares:
. - Compatibilidade da Multiplicação por Escalar com a Multiplicação de Escalares:
. - Elemento Neutro da Multiplicação por Escalar:
.
Vamos verificar cada um desses axiomas com as operações dadas.
Passo 3
Axioma 1: Fechamento da Adição
Para quaisquer
e
em
, a soma é
. Como
e
são números reais,
também está em
. Portanto, o fechamento da adição é satisfeito.
Passo 4
Axioma 2: Comutatividade da Adição
Vamos verificar se
.
Para que sejam iguais, precisamos que
. Isso só é verdade se
, o que nem sempre acontece. Portanto, a comutatividade da adição não é satisfeita.
Passo 5
Axioma 3: Associatividade da Adição
Mesmo já tendo identificado que o axioma da comutatividade não é satisfeito, vamos continuar para confirmar outros possíveis problemas. Verificamos:
Simplificando:
A não associatividade pode causar inconsistências, mas como já sabemos que a comutatividade falha, isso por si já impede
de ser um espaço vetorial.
Passo 6
Axioma 4: Elemento Neutro da Adição
Vamos procurar um vetor
tal que
.
Isso implica que:
A primeira equação
só é verdadeira se
, mas queremos que funcione para qualquer
. Portanto, não existe um elemento neutro que funcione para todos os vetores, o que viola o axioma do elemento neutro da adição.
Passo 7
Axioma 5: Existência de Inversos Aditivos
Como não temos um elemento neutro válido para a adição, não podemos definir inversos aditivos de forma consistente para todos os vetores. Portanto, este axioma também não é satisfeito.
Passo 8
Axioma 6: Fechamento da Multiplicação por Escalar
A multiplicação por escalar está definida como
. Como
e
são números reais, o resultado está dentro de
. Portanto, o fechamento da multiplicação por escalar é satisfeito.
Passo 9
Axioma 10: Elemento Neutro da Multiplicação por Escalar
Verificamos se
:
Esse axioma está satisfeito.
Resposta
O conjunto
com as operações definidas não é um espaço vetorial, pois não satisfaz os axiomas de comutatividade da adição, existência do elemento neutro da adição e existência de inversos aditivos.