Em cada ítem deste exercício são dados um espaço vetorial e um subconjunto de . Verifique se é subespaço vetorial . ;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos dá um espaço vetorial , que é o conjunto de todas as matrizes 3x3 com entradas reais. O subconjunto é formado por todas as matrizes simétricas, ou seja, aquelas onde . Nosso objetivo é verificar se é realmente um subespaço vetorial de . Para isso, vamos precisar lembrar dos critérios que definem um subespaço e aplicar cada um deles passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar quais são os critérios para um subconjunto ser um subespaço vetorial. Um subconjunto de um espaço vetorial é um subespaço se:
Contém o vetor zero: A matriz zero deve estar em .
Fechado sob adição: Se e estão em , então também deve estar em .
Fechado sob multiplicação por escalar: Se está em e é um escalar (número real), então também deve estar em .
Vamos verificar cada um desses pontos para o conjunto das matrizes simétricas.
Passo 3
1. Contém o vetor zero:
A matriz zero é uma matriz onde todos os elementos são zero. Vamos verificar se ela é simétrica.