Em cada ítem deste exercício são dados um espaço vetorial V e um subconjunto W de V. Verifique se W é subespaço vetorial V.
V=(M3 times 3(R),+, , R) W=A in M3 times 3 ; A=A^T;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos dá um espaço vetorial , que é o conjunto de todas as matrizes 3x3 com entradas reais. O subconjunto é formado por todas as matrizes simétricas, ou seja, aquelas onde . Nosso objetivo é verificar se é realmente um subespaço vetorial de . Para isso, vamos precisar lembrar dos critérios que definem um subespaço e aplicar cada um deles passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar quais são os critérios para um subconjunto ser um subespaço vetorial. Um subconjunto de um espaço vetorial é um subespaço se:
  1. Contém o vetor zero: A matriz zero deve estar em .
  2. Fechado sob adição: Se e estão em , então também deve estar em .
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se está em e é um escalar (número real), então também deve estar em .
Vamos verificar cada um desses pontos para o conjunto das matrizes simétricas.

Passo 3

1. Contém o vetor zero:
A matriz zero é uma matriz onde todos os elementos são zero. Vamos verificar se ela é simétrica.
A = 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0
Transposta de A^T = 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 :
Como , a matriz zero está em .

Passo 4

2. Fechado sob adição:
Vamos supor que (A + B)^T = A^T + B^T = A + B e são duas matrizes simétricas em . Isso significa que e .
Queremos ver se também é simétrica.
Calculando a transposta de :
Como , a soma de duas matrizes simétricas também é simétrica. Portanto, está em .

Passo 5

3. Fechado sob multiplicação por escalar:
Vamos considerar uma matriz (cA)^T = cA^T = cA simétrica em e um escalar . Queremos verificar se também é simétrica.
Calculando a transposta de :
Como , a matriz é simétrica. Portanto, está em .

Resposta

Como contém a matriz zero, é fechado sob adição e é fechado sob multiplicação por escalar, concluímos que é um subespaço vetorial de .

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