Classifique e resolva (quando possível) cada um dos sistemas abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um sistema de equações lineares com quatro variáveis: , , e . Nosso objetivo é descobrir os valores dessas variáveis que satisfazem todas as equações ao mesmo tempo. Para resolver isso, vamos usar um método chamado eliminação de Gauss, que ajuda a simplificar o sistema passo a passo até chegar na solução.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de forma organizada:
x + y + z - t = 3 (Equação 1) 2x + 3y - z + t = 1 (Equação 2) -x + y - z - 2t = -1 (Equação 3) x + 2y + 2z + t = 6 (Equação 4) çãçãçãçã
Passo 3
Vamos começar eliminando uma variável de algumas equações para simplificar. Vamos eliminar o 2(x + y + z - t) - (2x + 3y - z + t) = 2 cdot 3 - 1 das Equações 2, 3 e 4 usando a Equação 1.
Para fazer isso, multiplicamos a Equação 1 por 2 e subtraímos da Equação 2:
2x + 2y + 2z - 2t - 2x - 3y + z - t = 6 - 1
(-y) + 3z - 3t = 5 (Nova Equação 2)
çã
Passo 4
Agora, vamos eliminar o -1(x + y + z - t) + (-x + y - z - 2t) = -1 cdot 3 + (-1) da Equação 3. Multiplicamos a Equação 1 por -1 e somamos com a Equação 3:
- x - y - z + t - x + y - z - 2t = -3 - 1
-2x - 2z - t = -4 (Nova Equação 3)
çã
Passo 5
Vamos também eliminar o 1(x + y + z - t) - (x + 2y + 2z + t) = 3 - 6 da Equação 4 multiplicando a Equação 1 por 1 e subtraindo da Equação 4:
x + y + z - t - x - 2y - 2z - t = -3
- y - z - 2t = -3 (Nova Equação 4)
çã
Passo 6
Agora, nosso sistema ficou mais simples:
x + y + z - t = 3 (Equação 1) - y + 3z - 3t = 5 (Nova Equação 2) -2x - 2z - t = -4 (Nova Equação 3) - y - z - 2t = -3 (Nova Equação 4) çãçãçãçã
Vamos focar nas Equações 2, 3 e 4 para eliminar mais variáveis. Observando as Equações 2 e 4, podemos eliminar o .
Passo 7
Multiplicamos a Equação 4 por 1 e somamos com a Equação 2:
Vamos resolver a Equação 3 para o -2x - 2z - t = -4 :
-2x = -4 + 2z + t
x = 2 - z - t2
Passo 9
Agora que temos -2y + 2z - 5t = 2 em termos de -2y = 2 - 2z + 5t e y = -1 + z - 5t2 , vamos usar a Equação 5 para encontrar uma relação entre , e :
Passo 10
Vamos usar a Equação 1 para expressar x + y + z - t = 3 em termos de (2 - z - t2) + (-1 + z - 5t2) + z - t = 3 :
2 - z - t2 -1 + z - 5t2 + z - t = 3
Substituindo 1 + z - 3t = 3 e z - 3t = 2 :
z = 2 + 3t
Passo 11
Agora que temos y = -1 + z - 5t2 = -1 + (2 + 3t) - 5t2 = 1 + t2 em termos de x = 2 - z - t2 = 2 - (2 + 3t) - t2 = -3t - t2 = -7t2 , podemos encontrar e :
Para :
Para :
Passo 12
Agora, escolhemos um valor para x = -72t y = 1 + 12t z = 2 + 3t t = t ou deixamos a solução em termos de . Como não temos restrições adicionais, o sistema tem infinitas soluções. Podemos expressar as variáveis em função de :
Resposta
O sistema possui infinitas soluções, que podem ser expressas em função de x = -dfrac72 t y = 1 + dfrac12 t z = 2 + 3 t t = t da seguinte maneira: