Abaixo são dadas 24 medidas da massa de um objeto, em g.
2,236 | 2,254 | 2,261 | 2,270 | 2,276 | 2,282 | 2,287 | 2,292 | 2,301 | 2,310 | 2,327 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
2,247 | 2,258 | 2,266 | 2,275 | 2,281 | 2,284 | 2,291 | 2,295 | 2,302 | 2,318 | 2,338 |
2,253 | 2,261 | 2,269 | 2,275 | 2,282 | 2,284 | 2,292 | 2,297 | 2,304 | 2,321 | 2,345 |
a) Faça o histograma da distribuição destas medidas, e estime o valor mais provável para a massa do objeto.
b) Calcule o v.m.p e o desvio padrão da série de medidas acima.
c) Compare o valor estimado graficamente com o valor calculado para a massa do objeto. Esses valores são compatíveis?
b) Calcule o v.m.p e o desvio padrão da série de medidas acima.
c) Compare o valor estimado graficamente com o valor calculado para a massa do objeto. Esses valores são compatíveis?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no exercício que você me enviou. Temos 24 medidas da massa de um objeto, todas em gramas. A gente vai trabalhar com estatística básica aqui, mais especificamente com histogramas, valor mais provável (v.m.p), média, e desvio padrão. Para resolver esse exercício, vamos precisar organizar os dados, construir um histograma, calcular o v.m.p e o desvio padrão, e depois comparar os resultados.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer o histograma das 24 medidas de massa. O histograma é um gráfico que mostra a distribuição dos dados divididos em intervalos (ou “classes”). Cada barra do histograma representa a frequência com que os valores caem dentro de cada intervalo.
Vamos organizar os dados em classes apropriadas. Olhando os valores, eles variam de aproximadamente 2,23 g até 2,35 g. Podemos escolher intervalos de 0,02 g para facilitar:
- 2,23 – 2,25
- 2,26 – 2,28
- 2,29 – 2,31
- 2,32 – 2,34
- 2,35 – 2,37
Agora, contamos quantas medidas caem em cada intervalo:
- 2,23 – 2,25: 2,236; 2,247; 2,253 → 3 medidas
- 2,26 – 2,28: 2,254; 2,261; 2,266; 2,269; 2,275; 2,275; 2,276; 2,281; 2,282; 2,282; 2,284; 2,284; 2,287; 2,292 → 14 medidas
- 2,29 – 2,31: 2,291; 2,292; 2,295; 2,297; 2,301; 2,302; 2,304; 2,318; 2,321; 2,327; 2,338 → 11 medidas
- 2,32 – 2,34: 2,321; 2,345 → 2 medidas
- 2,35 – 2,37: Não há medidas neste intervalo.
Com isso, o histograma ficaria assim:
Frequência
14 | *
11 | *
3 | *
2 | *
--------------------
2,23 2,26 2,29 2,32 2,35
Isso mostra que a maioria das medidas está concentrada no segundo intervalo (2,26 – 2,28 g).
Passo 3
Agora, vamos estimar o valor mais provável (v.m.p) para a massa do objeto usando o histograma. O v.m.p é o valor que aparece com mais frequência nos dados, ou seja, a moda.
Observando o histograma, o intervalo com maior frequência é 2,26 – 2,28 g com 14 medidas. Para estimar o v.m.p, podemos assumir que ele está no meio desse intervalo.
Então, v.m.p ≈ 2,27 g.
Passo 4
Vamos calcular o v.m.p e o desvio padrão das medidas.
Primeiro, o valor mais provável (v.m.p):
Para calcular a moda de um conjunto de dados, identificamos o valor que ocorre com mais frequência. Olhando as 24 medidas, percebemos que os valores 2,275 g e 2,284 g aparecem duas vezes cada, enquanto os outros aparecem apenas uma vez. Portanto, temos duas modas: 2,275 g e 2,284 g. Nesse caso, podemos dizer que o conjunto de dados é bimodal.
Agora, o desvio padrão mede o quanto os valores estão dispersos em relação à média. Para calcular:
-
Calcular a média (
): Somando todas as 24 medidas e dividindo por 24: -
Calcular a variância (
): Calculando a diferença de cada medida para a média, elevando ao quadrado, somando tudo e dividindo por 23: -
O desvio padrão (
) é a raiz quadrada da variância:
Passo 5
Por fim, vamos comparar o valor estimado graficamente com o valor calculado para ver se eles são compatíveis.
Estimação gráfica (histograma) deu o v.m.p de aproximadamente 2,27 g. Já o cálculo detalhado mostrou uma moda bimodal em 2,275 g e 2,284 g e uma média de 2,28 g com desvio padrão de 0,022 g.
Os valores estimados graficamente e calculados estão bem próximos, especialmente a média (2,28 g) que está alinhada com a estimativa do histograma. Isso mostra que as duas abordagens confirmam que a massa do objeto está em torno de 2,27 a 2,28 g, sendo os valores compatíveis entre si.
Resposta
a) O histograma mostra que a maioria das medidas está entre 2,26 e 2,28 g, estimando-se o valor mais provável da massa do objeto em aproximadamente 2,27 g.
b) O v.m.p é 2,275 g e 2,284 g (bimodal) e o desvio padrão é 0,022 g.
c) Os valores estimados graficamente (≈2,27 g) e calculados (2,275 g e 2,284 g) são compatíveis, confirmando a massa do objeto em torno de 2,28 g.
Exercícios relacionados
Para encontrar uma equação empírica relacionando o período de oscilação de uma mola com a massa, pendurou-se uma massa
na extremidade livre da mola, colocou-se o sistema para oscilar com uma pequena amplitude e mediuse o tempo de 20 oscilações duas vezes, obtendo os seguintes valores:
|
1,60 | 3,00 | 5,00 | 6,20 | 9,30 |
---|---|---|---|---|---|
|
0,450 | 0,550 | 0,650 | 0,700 | 0,800 |
a) Identifique a variável dependente e a independente e construa o gráfico da variável dependente contra a variável independente.
b) Identifique o tipo de função que relaciona as grandezas T e M e usando o Método de Linearização Logarítmico, calcule os parâmetros da equação empírica. (OBS: Escreva os valores das grandezas com suas respectivas unidades.)
c) Escreva a equação empírica procurada e teste-a para um ponto interpolado do gráfico. Compare este valor com o valor calculado usando a equação empírica.
d) Dê sua conclusão: a equação obtida representa de fato o fenômeno estudado?
b) Identifique o tipo de função que relaciona as grandezas T e M e usando o Método de Linearização Logarítmico, calcule os parâmetros da equação empírica. (OBS: Escreva os valores das grandezas com suas respectivas unidades.)
c) Escreva a equação empírica procurada e teste-a para um ponto interpolado do gráfico. Compare este valor com o valor calculado usando a equação empírica.
d) Dê sua conclusão: a equação obtida representa de fato o fenômeno estudado?
Usando o método dos mínimos quadrados de maneira conveniente, aproxime os pontos da tabela abaixo por uma função do tipo
.
|
0 | 1 | 2 | 3 |
---|---|---|---|---|
|
1 | 2 | 4 | 8 |
Um objeto foi abandonado do repouso do alto de um prédio. Sua altura foi registrada a cada segundo após o lançamento e os dados obtidos encontramse na tabela abaixo.
Altura (m) | 192 | 180 | 150 | 115 | 72 |
---|---|---|---|---|---|
Tempo (s) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
Utilize o m
Foram realizadas 5 medidas do diâmetro (D) e da altura (H) de um cilindro obtendo-se os seguintes valores:
9,
a) Calcule o valor mais provável e o desvio de cada série
b) Calcule a área superficial total do cilindro
c) Calcule o volume do cilindro
9,
a) Calcule o valor mais provável e o desvio de cada série
b) Calcule a área superficial total do cilindro
c) Calcule o volume do cilindro