Abaixo são dadas 24 medidas da massa de um objeto, em g.
2,236 2,254 2,261 2,270 2,276 2,282 2,287 2,292 2,301 2,310 2,327
2,247 2,258 2,266 2,275 2,281 2,284 2,291 2,295 2,302 2,318 2,338
2,253 2,261 2,269 2,275 2,282 2,284 2,292 2,297 2,304 2,321 2,345
a) Faça o histograma da distribuição destas medidas, e estime o valor mais provável para a massa do objeto.
b) Calcule o v.m.p e o desvio padrão da série de medidas acima.
c) Compare o valor estimado graficamente com o valor calculado para a massa do objeto. Esses valores são compatíveis?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no exercício que você me enviou. Temos 24 medidas da massa de um objeto, todas em gramas. A gente vai trabalhar com estatística básica aqui, mais especificamente com histogramas, valor mais provável (v.m.p), média, e desvio padrão. Para resolver esse exercício, vamos precisar organizar os dados, construir um histograma, calcular o v.m.p e o desvio padrão, e depois comparar os resultados.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer o histograma das 24 medidas de massa. O histograma é um gráfico que mostra a distribuição dos dados divididos em intervalos (ou “classes”). Cada barra do histograma representa a frequência com que os valores caem dentro de cada intervalo.
Vamos organizar os dados em classes apropriadas. Olhando os valores, eles variam de aproximadamente 2,23 g até 2,35 g. Podemos escolher intervalos de 0,02 g para facilitar:
  • 2,23 – 2,25
  • 2,26 – 2,28
  • 2,29 – 2,31
  • 2,32 – 2,34
  • 2,35 – 2,37
Agora, contamos quantas medidas caem em cada intervalo:
  • 2,23 – 2,25: 2,236; 2,247; 2,253 → 3 medidas
  • 2,26 – 2,28: 2,254; 2,261; 2,266; 2,269; 2,275; 2,275; 2,276; 2,281; 2,282; 2,282; 2,284; 2,284; 2,287; 2,292 → 14 medidas
  • 2,29 – 2,31: 2,291; 2,292; 2,295; 2,297; 2,301; 2,302; 2,304; 2,318; 2,321; 2,327; 2,338 → 11 medidas
  • 2,32 – 2,34: 2,321; 2,345 → 2 medidas
  • 2,35 – 2,37: Não há medidas neste intervalo.
Com isso, o histograma ficaria assim:
Frequência
14 |              *
11 |          *
3  |      *
2  |  *
    --------------------
    2,23 2,26 2,29 2,32 2,35
Isso mostra que a maioria das medidas está concentrada no segundo intervalo (2,26 – 2,28 g).

Passo 3

Agora, vamos estimar o valor mais provável (v.m.p) para a massa do objeto usando o histograma. O v.m.p é o valor que aparece com mais frequência nos dados, ou seja, a moda.
Observando o histograma, o intervalo com maior frequência é 2,26 – 2,28 g com 14 medidas. Para estimar o v.m.p, podemos assumir que ele está no meio desse intervalo.
Então, v.m.p ≈ 2,27 g.

Passo 4

Vamos calcular o v.m.p e o desvio padrão das medidas.
Primeiro, o valor mais provável (v.m.p):
Para calcular a moda de um conjunto de dados, identificamos o valor que ocorre com mais frequência. Olhando as 24 medidas, percebemos que os valores 2,275 g e 2,284 g aparecem duas vezes cada, enquanto os outros aparecem apenas uma vez. Portanto, temos duas modas: 2,275 g e 2,284 g. Nesse caso, podemos dizer que o conjunto de dados é bimodal.
Agora, o desvio padrão mede o quanto os valores estão dispersos em relação à média. Para calcular:
  1. Calcular a média ( ):
    Somando todas as 24 medidas e dividindo por 24:
  2. Calcular a variância ( ):
    Calculando a diferença de cada medida para a média, elevando ao quadrado, somando tudo e dividindo por 23:
  3. O desvio padrão ( ) é a raiz quadrada da variância:

Passo 5

Por fim, vamos comparar o valor estimado graficamente com o valor calculado para ver se eles são compatíveis.
Estimação gráfica (histograma) deu o v.m.p de aproximadamente 2,27 g. Já o cálculo detalhado mostrou uma moda bimodal em 2,275 g e 2,284 g e uma média de 2,28 g com desvio padrão de 0,022 g.
Os valores estimados graficamente e calculados estão bem próximos, especialmente a média (2,28 g) que está alinhada com a estimativa do histograma. Isso mostra que as duas abordagens confirmam que a massa do objeto está em torno de 2,27 a 2,28 g, sendo os valores compatíveis entre si.

Resposta

a) O histograma mostra que a maioria das medidas está entre 2,26 e 2,28 g, estimando-se o valor mais provável da massa do objeto em aproximadamente 2,27 g.
b) O v.m.p é 2,275 g e 2,284 g (bimodal) e o desvio padrão é 0,022 g.
c) Os valores estimados graficamente (≈2,27 g) e calculados (2,275 g e 2,284 g) são compatíveis, confirmando a massa do objeto em torno de 2,28 g.

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1,60 3,00 5,00 6,20 9,30
0,450 0,550 0,650 0,700 0,800
a) Identifique a variável dependente e a independente e construa o gráfico da variável dependente contra a variável independente.
b) Identifique o tipo de função que relaciona as grandezas T e M e usando o Método de Linearização Logarítmico, calcule os parâmetros da equação empírica. (OBS: Escreva os valores das grandezas com suas respectivas unidades.)
c) Escreva a equação empírica procurada e teste-a para um ponto interpolado do gráfico. Compare este valor com o valor calculado usando a equação empírica.
d) Dê sua conclusão: a equação obtida representa de fato o fenômeno estudado?
Usando o método dos mínimos quadrados de maneira conveniente, aproxime os pontos da tabela abaixo por uma função do tipo .
0 1 2 3
1 2 4 8
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Altura (m) 192 180 150 115 72
Tempo (s) 1 2 3 4 5
Utilize o m
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9,
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c) Calcule o volume do cilindro