Usando o método dos mínimos quadrados de maneira conveniente, aproxime os pontos da tabela abaixo por uma função do tipo .
0 1 2 3
1 2 4 8

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de matemática que pede pra gente aproximar alguns pontos usando uma função do tipo com o método dos mínimos quadrados. Ou seja, queremos achar os valores de e que fazem essa linha ficar o mais próxima possível dos pontos dados na tabela.

Passo 2

Primeiro, vamos listar os pontos que temos:

Passo 3

O método dos mínimos quadrados busca minimizar a soma dos quadrados das diferenças entre os valores reais e os valores estimados pela nossa função . Para isso, vamos precisar calcular algumas somas:
  • : número de pontos
  • : soma de todos os valores de
  • : soma de todos os valores de
  • : soma dos produtos de por
  • : soma dos quadrados de

Passo 4

Vamos calcular essas somas com os nossos pontos:

Passo 5

Agora, vamos usar as fórmulas dos mínimos quadrados para encontrar e :

Passo 6

Substituindo os valores das somas que calculamos:

Resposta

A função que aproxima os pontos pelo método dos mínimos quadrados é:

Exercícios relacionados

Foram realizadas 5 medidas do diâmetro (D) e da massa (M) de uma esfera obtendo-se os seguintes valores:

a) Calcule o v.m.p e o desvio padrão de cada série e represente com o numero correto de algarismos significativos
b) Calcule o desvio relativo do diâmetro e da massa
c) Qual medida apresenta maior precisão, diâmetro ou massa?
No conjunto de dados abaixo, calcular a média aritmética de m e o desvio padrão.
m 390 100 350 400 520 99
Para encontrar uma equação empírica relacionando o período de oscilação de uma mola com a massa, pendurou-se uma massa na extremidade livre da mola, colocou-se o sistema para oscilar com uma pequena amplitude e mediuse o tempo de 20 oscilações duas vezes, obtendo os seguintes valores:
1,60 3,00 5,00 6,20 9,30
0,450 0,550 0,650 0,700 0,800
a) Identifique a variável dependente e a independente e construa o gráfico da variável dependente contra a variável independente.
b) Identifique o tipo de função que relaciona as grandezas T e M e usando o Método de Linearização Logarítmico, calcule os parâmetros da equação empírica. (OBS: Escreva os valores das grandezas com suas respectivas unidades.)
c) Escreva a equação empírica procurada e teste-a para um ponto interpolado do gráfico. Compare este valor com o valor calculado usando a equação empírica.
d) Dê sua conclusão: a equação obtida representa de fato o fenômeno estudado?
Abaixo são dadas 24 medidas da massa de um objeto, em g.
2,236 2,254 2,261 2,270 2,276 2,282 2,287 2,292 2,301 2,310 2,327
2,247 2,258 2,266 2,275 2,281 2,284 2,291 2,295 2,302 2,318 2,338
2,253 2,261 2,269 2,275 2,282 2,284 2,292 2,297 2,304 2,321 2,345
a) Faça o histograma da distribuição destas medidas, e estime o valor mais provável para a massa do objeto.
b) Calcule o v.m.p e o desvio padrão da série de medidas acima.
c) Compare o valor estimado graficamente com o valor calculado para a massa do objeto. Esses valores são compatíveis?