Usando o método dos mínimos quadrados de maneira conveniente, aproxime os pontos da tabela abaixo por uma função do tipo
.
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0 | 1 | 2 | 3 |
---|---|---|---|---|
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1 | 2 | 4 | 8 |
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de matemática que pede pra gente aproximar alguns pontos usando uma função do tipo
com o método dos mínimos quadrados. Ou seja, queremos achar os valores de
e
que fazem essa linha ficar o mais próxima possível dos pontos dados na tabela.
Passo 2
Primeiro, vamos listar os pontos que temos:
Passo 3
O método dos mínimos quadrados busca minimizar a soma dos quadrados das diferenças entre os valores reais
e os valores estimados pela nossa função
. Para isso, vamos precisar calcular algumas somas:
-
: número de pontos -
: soma de todos os valores de -
: soma de todos os valores de -
: soma dos produtos de por -
: soma dos quadrados de
Passo 4
Vamos calcular essas somas com os nossos pontos:
Passo 5
Agora, vamos usar as fórmulas dos mínimos quadrados para encontrar
e
:
Passo 6
Substituindo os valores das somas que calculamos:
Resposta
A função que aproxima os pontos pelo método dos mínimos quadrados é:
Exercícios relacionados
Foram realizadas 5 medidas do diâmetro (D) e da massa (M) de uma esfera obtendo-se os seguintes valores:
a) Calcule o v.m.p e o desvio padrão de cada série e represente com o numero correto de algarismos significativos
b) Calcule o desvio relativo do diâmetro e da massa
c) Qual medida apresenta maior precisão, diâmetro ou massa?
a) Calcule o v.m.p e o desvio padrão de cada série e represente com o numero correto de algarismos significativos
b) Calcule o desvio relativo do diâmetro e da massa
c) Qual medida apresenta maior precisão, diâmetro ou massa?
No conjunto de dados abaixo, calcular a média aritmética de m e o desvio padrão.
m | 390 | 100 | 350 | 400 | 520 | 99 |
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Para encontrar uma equação empírica relacionando o período de oscilação de uma mola com a massa, pendurou-se uma massa
na extremidade livre da mola, colocou-se o sistema para oscilar com uma pequena amplitude e mediuse o tempo de 20 oscilações duas vezes, obtendo os seguintes valores:
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1,60 | 3,00 | 5,00 | 6,20 | 9,30 |
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0,450 | 0,550 | 0,650 | 0,700 | 0,800 |
a) Identifique a variável dependente e a independente e construa o gráfico da variável dependente contra a variável independente.
b) Identifique o tipo de função que relaciona as grandezas T e M e usando o Método de Linearização Logarítmico, calcule os parâmetros da equação empírica. (OBS: Escreva os valores das grandezas com suas respectivas unidades.)
c) Escreva a equação empírica procurada e teste-a para um ponto interpolado do gráfico. Compare este valor com o valor calculado usando a equação empírica.
d) Dê sua conclusão: a equação obtida representa de fato o fenômeno estudado?
b) Identifique o tipo de função que relaciona as grandezas T e M e usando o Método de Linearização Logarítmico, calcule os parâmetros da equação empírica. (OBS: Escreva os valores das grandezas com suas respectivas unidades.)
c) Escreva a equação empírica procurada e teste-a para um ponto interpolado do gráfico. Compare este valor com o valor calculado usando a equação empírica.
d) Dê sua conclusão: a equação obtida representa de fato o fenômeno estudado?
Abaixo são dadas 24 medidas da massa de um objeto, em g.
2,236 | 2,254 | 2,261 | 2,270 | 2,276 | 2,282 | 2,287 | 2,292 | 2,301 | 2,310 | 2,327 |
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2,247 | 2,258 | 2,266 | 2,275 | 2,281 | 2,284 | 2,291 | 2,295 | 2,302 | 2,318 | 2,338 |
2,253 | 2,261 | 2,269 | 2,275 | 2,282 | 2,284 | 2,292 | 2,297 | 2,304 | 2,321 | 2,345 |
a) Faça o histograma da distribuição destas medidas, e estime o valor mais provável para a massa do objeto.
b) Calcule o v.m.p e o desvio padrão da série de medidas acima.
c) Compare o valor estimado graficamente com o valor calculado para a massa do objeto. Esses valores são compatíveis?
b) Calcule o v.m.p e o desvio padrão da série de medidas acima.
c) Compare o valor estimado graficamente com o valor calculado para a massa do objeto. Esses valores são compatíveis?