Foram realizadas 5 medidas do diâmetro (D) e da altura (H) de um cilindro obtendo-se os seguintes valores:
D(cm)=7,69 ; 7,51 ; 7,47 ; 7,65 ; 7,70
H(cm)=9,56 ; 9,45 ; 9,30 ;
9, 33 ; 9,47
a) Calcule o valor mais provável e o desvio de cada série
b) Calcule a área superficial total do cilindro [barA pm sA]
c) Calcule o volume do cilindro [barV pm sV]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para trabalharmos com medidas de diâmetro (D) e altura (H) de um cilindro. A matéria envolvida aqui é Estatística para calcular a média e o desvio padrão das medidas, além de Geometria para calcular a área superficial e o volume do cilindro considerando as incertezas nas medidas. Vamos precisar calcular a média, o desvio padrão, e depois aplicar as fórmulas da área e volume do cilindro.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar as medidas que temos:
Diâmetro (D) em cm: 7,69; 7,51; 7,47; 7,65; 7,70
Altura (H) em cm: 9,56; 9,45; 9,30; 9,33; 9,47
Vamos calcular a média (valor mais provável) de D e H.

Passo 3

Para calcular a média, somamos todas as medidas e dividimos pelo número de medidas.
Média de D:
barD = 7,69 + 7,51 + 7,47 + 7,65 + 7,705
barD = 37,025 = 7,404 , cm
Média de H:
barH = 9,56 + 9,45 + 9,30 + 9,33 + 9,475
barH = 47,115 = 9,422 , cm

Passo 4

Agora, vamos calcular o desvio padrão de cada série. O desvio padrão nos mostra o quanto as medidas variam em relação à média.
Para calcular o desvio padrão ( s = raizsum (xi - barx)^2n - 1 ):
Vamos começar com o diâmetro D.

Passo 5

Calculando o desvio padrão de D:
sD &= raiz(7,69 - 7,404)^2 + (7,51 - 7,404)^2 + (7,47 - 7,404)^2 + (7,65 - 7,404)^2 + (7,70 - 7,404)^25 - 1 &= raiz(0,286)^2 + (0,106)^2 + (0,066)^2 + (0,246)^2 + (0,296)^24 &= raiz0,081796 + 0,011236 + 0,004356 + 0,060516 + 0,0876164 &= raiz0,245524 &= raiz0,06138 &approx 0,248 , cm

Passo 6

Agora, o desvio padrão de H:
sH &= raiz(9,56 - 9,422)^2 + (9,45 - 9,422)^2 + (9,30 - 9,422)^2 + (9,33 - 9,422)^2 + (9,47 - 9,422)^25 - 1 &= raiz(0,138)^2 + (0,028)^2 + (-0,122)^2 + (-0,092)^2 + (0,048)^24 &= raiz0,019044 + 0,000784 + 0,014884 + 0,008464 + 0,0023044 &= raiz0,045484 &= raiz0,01137 &approx 0,107 , cm

Passo 7

Agora que temos a média e o desvio padrão, vamos resumir:
a) Valor mais provável e desvio:
barD = 7,404 , cm pm 0,248 , cm
barH = 9,422 , cm pm 0,107 , cm

Passo 8

Vamos para a parte b: calcular a área superficial total do cilindro com a incerteza.
A fórmula da área superficial total ( A = 2pi r^2 + 2pi r H ) de um cilindro é:
onde é o raio e é a altura.
Como temos o diâmetro, primeiro vamos encontrar o raio ( ).

Passo 9

Calculando o raio usando a média de D:
barr = barD2 = 7,4042 = 3,702 , cm
Agora, vamos calcular a área média:
barA = 2pi (3,702)^2 + 2pi (3,702)(9,422)
barA = 2pi (13,73) + 2pi (34,88)
barA = 86,18 + 218,99 = 305,17 , cm^2

Passo 10

Para calcular a incerteza na área ( sA = raiz(partial Apartial D sD)^2 + (partial Apartial H sH)^2 ), usamos a propagação de erros. As incertezas nas variáveis D e H afetam a área. A fórmula aproximada para a incerteza na área é:
partial Apartial D = partialpartial D (2pi (D2)^2 + 2pi (D2) H) = pi D + pi H
Calculando as derivadas parciais:
partial Apartial H = 2pi r = 2pi (D2) = pi D
partial Apartial D = pi (7,404) + pi (9,422) = pi (16,826) approx 52,84
Agora, substituindo os valores médios:
partial Apartial H = pi (7,404) approx 23,28
sA = raiz(52,84 times 0,248)^2 + (23,28 times 0,107)^2
Então,
sA = raiz(13,09)^2 + (2,49)^2
sA = raiz170,34 + 6,20 = raiz176,54 approx 13,28 , cm^2

Passo 11

Portanto, a área superficial total com incerteza é:
barA pm sA = 305,17 , cm^2 pm 13,28 , cm^2

Passo 12

Agora, vamos para a parte c: calcular o volume do cilindro com a incerteza.
A fórmula do volume ( V = pi r^2 H ) de um cilindro é:
Usando o raio médio calculado anteriormente ( ) e a média da altura ( ).

Passo 13

Calculando o volume médio:
barV = pi (3,702)^2 (9,422)
barV = pi (13,73) (9,422) approx pi (129,33) approx 406,02 , cm^3

Passo 14

Para a incerteza no volume ( sV = raiz(partial Vpartial D sD)^2 + (partial Vpartial H sH)^2 ), usamos a propagação de erros. A fórmula aproximada para a incerteza no volume é:
partial Vpartial D = partialpartial D (pi (D2)^2 H) = pi cdot 2 cdot D2 cdot 12 H = pi H D2
Calculando as derivadas parciais:
partial Vpartial H = pi (D2)^2 = pi D^24
partial Vpartial D = pi (9,422) (7,404)2 approx pi (69,75)2 approx 109,66
Substituindo os valores médios:
partial Vpartial H = pi (7,404)^24 approx pi (54,83)4 approx 43,02
sV = raiz(109,66 times 0,248)^2 + (43,02 times 0,107)^2
Então,
sV = raiz(27,22)^2 + (4,60)^2
sV = raiz740,90 + 21,16 = raiz762,06 approx 27,61 , cm^3

Passo 15

Portanto, o volume do cilindro com incerteza é:
barV pm sV = 406,02 , cm^3 pm 27,61 , cm^3

Resposta

a) Valor mais provável e desvio:
barD = 7,404 , cm pm 0,248 , cm
barH = 9,422 , cm pm 0,107 , cm
b) Área superficial total do cilindro:
barA pm sA = 305,17 , cm^2 pm 13,28 , cm^2
c) Volume do cilindro:
barV pm sV = 406,02 , cm^3 pm 27,61 , cm^3

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