Foram realizadas 5 medidas do diâmetro (D) e da altura (H) de um cilindro obtendo-se os seguintes valores:
9,
a) Calcule o valor mais provável e o desvio de cada série
b) Calcule a área superficial total do cilindro
c) Calcule o volume do cilindro
9,
a) Calcule o valor mais provável e o desvio de cada série
b) Calcule a área superficial total do cilindro
c) Calcule o volume do cilindro
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para trabalharmos com medidas de diâmetro (D) e altura (H) de um cilindro. A matéria envolvida aqui é Estatística para calcular a média e o desvio padrão das medidas, além de Geometria para calcular a área superficial e o volume do cilindro considerando as incertezas nas medidas. Vamos precisar calcular a média, o desvio padrão, e depois aplicar as fórmulas da área e volume do cilindro.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar as medidas que temos:
Diâmetro (D) em cm: 7,69; 7,51; 7,47; 7,65; 7,70
Altura (H) em cm: 9,56; 9,45; 9,30; 9,33; 9,47
Altura (H) em cm: 9,56; 9,45; 9,30; 9,33; 9,47
Vamos calcular a média (valor mais provável) de D e H.
Passo 3
Para calcular a média, somamos todas as medidas e dividimos pelo número de medidas.
Média de D:
Média de H:
Passo 4
Agora, vamos calcular o desvio padrão de cada série. O desvio padrão nos mostra o quanto as medidas variam em relação à média.
Para calcular o desvio padrão (
):
Vamos começar com o diâmetro D.
Passo 5
Calculando o desvio padrão de D:
Passo 6
Agora, o desvio padrão de H:
Passo 7
Agora que temos a média e o desvio padrão, vamos resumir:
a) Valor mais provável e desvio:
Passo 8
Vamos para a parte b: calcular a área superficial total do cilindro com a incerteza.
A fórmula da área superficial total (
) de um cilindro é:
onde
é o raio e
é a altura.
Como temos o diâmetro, primeiro vamos encontrar o raio (
).
Passo 9
Calculando o raio usando a média de D:
Agora, vamos calcular a área média:
Passo 10
Para calcular a incerteza na área (
), usamos a propagação de erros. As incertezas nas variáveis D e H afetam a área. A fórmula aproximada para a incerteza na área é:
Calculando as derivadas parciais:
Agora, substituindo os valores médios:
Então,
Passo 11
Portanto, a área superficial total com incerteza é:
Passo 12
Agora, vamos para a parte c: calcular o volume do cilindro com a incerteza.
A fórmula do volume (
) de um cilindro é:
Usando o raio médio calculado anteriormente (
) e a média da altura (
).
Passo 13
Calculando o volume médio:
Passo 14
Para a incerteza no volume (
), usamos a propagação de erros. A fórmula aproximada para a incerteza no volume é:
Calculando as derivadas parciais:
Substituindo os valores médios:
Então,
Passo 15
Portanto, o volume do cilindro com incerteza é:
Resposta
a) Valor mais provável e desvio:
b) Área superficial total do cilindro:
c) Volume do cilindro: