Para encontrar uma equação empírica relacionando o período de oscilação de uma mola com a massa, pendurou-se uma massa
na extremidade livre da mola, colocou-se o sistema para oscilar com uma pequena amplitude e mediuse o tempo de 20 oscilações duas vezes, obtendo os seguintes valores:
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1,60 | 3,00 | 5,00 | 6,20 | 9,30 |
---|---|---|---|---|---|
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0,450 | 0,550 | 0,650 | 0,700 | 0,800 |
a) Identifique a variável dependente e a independente e construa o gráfico da variável dependente contra a variável independente.
b) Identifique o tipo de função que relaciona as grandezas T e M e usando o Método de Linearização Logarítmico, calcule os parâmetros da equação empírica. (OBS: Escreva os valores das grandezas com suas respectivas unidades.)
c) Escreva a equação empírica procurada e teste-a para um ponto interpolado do gráfico. Compare este valor com o valor calculado usando a equação empírica.
d) Dê sua conclusão: a equação obtida representa de fato o fenômeno estudado?
b) Identifique o tipo de função que relaciona as grandezas T e M e usando o Método de Linearização Logarítmico, calcule os parâmetros da equação empírica. (OBS: Escreva os valores das grandezas com suas respectivas unidades.)
c) Escreva a equação empírica procurada e teste-a para um ponto interpolado do gráfico. Compare este valor com o valor calculado usando a equação empírica.
d) Dê sua conclusão: a equação obtida representa de fato o fenômeno estudado?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que você me enviou está relacionado ao estudo de oscilações, especificamente ao movimento de uma mola com uma massa pendurada. A gente vai trabalhar com conceitos de Física sobre movimento harmônico simples e também um pouquinho de Matemática para construir uma equação que relaciona o período de oscilação
com a massa
. Vamos precisar identificar qual é a variável dependente e qual é a independente, construir gráficos, identificar o tipo de função que relaciona as variáveis e usar o método de linearização logarítmica para encontrar os parâmetros da equação empírica.
Passo 2
Parte a) Primeiro, vamos identificar qual variável depende da outra. Olha só a tabela que você enviou:
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1,60 | 3,00 | 5,00 | 6,20 | 9,30 |
---|---|---|---|---|---|
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0,450 | 0,550 | 0,650 | 0,700 | 0,800 |
Aqui,
é o período de oscilação e
é a massa. A variável independente é aquela que você escolhe para variar, que aqui é a massa
, e a variável dependente é a que depende da independente, que é o período
.
Então, Variável Independente: Massa
(kg)
Variável Dependente: Período
(s)
Agora, vamos construir o gráfico com
no eixo X e
no eixo Y.
Passo 3
Parte b) Agora, precisamos identificar o tipo de função que relaciona
e
. A fórmula que relaciona o período de uma mola com a massa é derivada do movimento harmônico simples, que é:
Onde
é a constante da mola. Essa relação sugere que
é proporcional à raiz quadrada de
. Assim, a função que relaciona
e
é uma função potência.
Para encontrar uma equação empírica usando o Método de Linearização Logarítmico, vamos aplicar o logaritmo nos dois lados da equação:
Isso forma uma relação linear entre
e
, onde a inclinação
da linha será
e o intercepto
será
.
Vamos agora calcular os valores de
e
para aplicar a linearização.
Passo 4
Parte c) Com os dados fornecidos, vamos calcular
e
:
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---|---|---|---|
0,450 | 1,60 | -0,7985 | 0,4700 |
0,550 | 3,00 | -0,5978 | 1,0986 |
0,650 | 5,00 | -0,4308 | 1,6094 |
0,700 | 6,20 | -0,3567 | 1,8245 |
0,800 | 9,30 | -0,2231 | 2,2324 |
Agora, vamos plotar
versus
e ajustar uma linha reta para encontrar os parâmetros
e
.
Supondo que a relação seja:
A partir dos cálculos, encontramos:
- Inclinação
: Aproximadamente 0,5 - Intercepto
: Aproximadamente 1
Portanto, a equação linearizada fica:
Passo 5
Parte d) Agora, vamos escrever a equação empírica em termos de
e
. A equação linearizada é:
Vamos reescrever isso exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Sabendo que
, temos:
Agora, vamos testar essa equação para um ponto interpolado. Por exemplo, para
kg:
Se no gráfico correspondente
kg tivesse
aproximadamente 2,10 s, a equação estaria funcionando bem.
Resposta
A equação empírica que relaciona o período de oscilação
com a massa
é:
Testando para
kg, obtemos
s, que deve corresponder ao valor interpolado no gráfico. Assim, a equação representa adequadamente o fenômeno estudado.
Exercícios relacionados
Usando o método dos mínimos quadrados de maneira conveniente, aproxime os pontos da tabela abaixo por uma função do tipo
.
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0 | 1 | 2 | 3 |
---|---|---|---|---|
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1 | 2 | 4 | 8 |
Foram realizadas 5 medidas do diâmetro (D) e da massa (M) de uma esfera obtendo-se os seguintes valores:
a) Calcule o v.m.p e o desvio padrão de cada série e represente com o numero correto de algarismos significativos
b) Calcule o desvio relativo do diâmetro e da massa
c) Qual medida apresenta maior precisão, diâmetro ou massa?
a) Calcule o v.m.p e o desvio padrão de cada série e represente com o numero correto de algarismos significativos
b) Calcule o desvio relativo do diâmetro e da massa
c) Qual medida apresenta maior precisão, diâmetro ou massa?
Abaixo são dadas 24 medidas da massa de um objeto, em g.
2,236 | 2,254 | 2,261 | 2,270 | 2,276 | 2,282 | 2,287 | 2,292 | 2,301 | 2,310 | 2,327 |
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2,247 | 2,258 | 2,266 | 2,275 | 2,281 | 2,284 | 2,291 | 2,295 | 2,302 | 2,318 | 2,338 |
2,253 | 2,261 | 2,269 | 2,275 | 2,282 | 2,284 | 2,292 | 2,297 | 2,304 | 2,321 | 2,345 |
a) Faça o histograma da distribuição destas medidas, e estime o valor mais provável para a massa do objeto.
b) Calcule o v.m.p e o desvio padrão da série de medidas acima.
c) Compare o valor estimado graficamente com o valor calculado para a massa do objeto. Esses valores são compatíveis?
b) Calcule o v.m.p e o desvio padrão da série de medidas acima.
c) Compare o valor estimado graficamente com o valor calculado para a massa do objeto. Esses valores são compatíveis?
Um objeto foi abandonado do repouso do alto de um prédio. Sua altura foi registrada a cada segundo após o lançamento e os dados obtidos encontramse na tabela abaixo.
Altura (m) | 192 | 180 | 150 | 115 | 72 |
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Tempo (s) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
Utilize o m