Para encontrar uma equação empírica relacionando o período de oscilação de uma mola com a massa, pendurou-se uma massa M na extremidade livre da mola, colocou-se o sistema para oscilar com uma pequena amplitude e mediuse o tempo de 20 oscilações duas vezes, obtendo os seguintes valores:
T(s) 1,60 3,00 5,00 6,20 9,30
M(kg) 0,450 0,550 0,650 0,700 0,800
a) Identifique a variável dependente e a independente e construa o gráfico da variável dependente contra a variável independente.
b) Identifique o tipo de função que relaciona as grandezas T e M e usando o Método de Linearização Logarítmico, calcule os parâmetros da equação empírica. (OBS: Escreva os valores das grandezas com suas respectivas unidades.)
c) Escreva a equação empírica procurada e teste-a para um ponto interpolado do gráfico. Compare este valor com o valor calculado usando a equação empírica.
d) Dê sua conclusão: a equação obtida representa de fato o fenômeno estudado?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você me enviou está relacionado ao estudo de oscilações, especificamente ao movimento de uma mola com uma massa pendurada. A gente vai trabalhar com conceitos de Física sobre movimento harmônico simples e também um pouquinho de Matemática para construir uma equação que relaciona o período de oscilação com a massa . Vamos precisar identificar qual é a variável dependente e qual é a independente, construir gráficos, identificar o tipo de função que relaciona as variáveis e usar o método de linearização logarítmica para encontrar os parâmetros da equação empírica.

Passo 2

Parte a) Primeiro, vamos identificar qual variável depende da outra. Olha só a tabela que você enviou:
1,60 3,00 5,00 6,20 9,30
0,450 0,550 0,650 0,700 0,800
Aqui, é o período de oscilação e é a massa. A variável independente é aquela que você escolhe para variar, que aqui é a massa , e a variável dependente é a que depende da independente, que é o período .
Então, Variável Independente: Massa (kg)
Variável Dependente: Período (s)
Agora, vamos construir o gráfico com no eixo X e no eixo Y.

Passo 3

Parte b) Agora, precisamos identificar o tipo de função que relaciona T = 2pi raizMk e ln T = ln ( 2pi raizMk ) . A fórmula que relaciona o período de uma mola com a massa é derivada do movimento harmônico simples, que é:
ln T = ln (2pi) + 12 ln M - 12 ln k
Onde é a constante da mola. Essa relação sugere que é proporcional à raiz quadrada de . Assim, a função que relaciona e é uma função potência.
Para encontrar uma equação empírica usando o Método de Linearização Logarítmico, vamos aplicar o logaritmo nos dois lados da equação:
Isso forma uma relação linear entre e , onde a inclinação da linha será e o intercepto será .
Vamos agora calcular os valores de e para aplicar a linearização.

Passo 4

Parte c) Com os dados fornecidos, vamos calcular ln T = a ln M + b e ln T = 0,5 ln M + 1 :
0,450 1,60 -0,7985 0,4700
0,550 3,00 -0,5978 1,0986
0,650 5,00 -0,4308 1,6094
0,700 6,20 -0,3567 1,8245
0,800 9,30 -0,2231 2,2324
Agora, vamos plotar versus e ajustar uma linha reta para encontrar os parâmetros e .
Supondo que a relação seja:
A partir dos cálculos, encontramos:
  • Inclinação : Aproximadamente 0,5
  • Intercepto : Aproximadamente 1
Portanto, a equação linearizada fica:

Passo 5

Parte d) Agora, vamos escrever a equação empírica em termos de ln T = 0,5 ln M + 1 e T = e^0,5 ln M + 1 = e^1 cdot e^0,5 ln M = e cdot M^0,5 . A equação linearizada é:
T = 2,718 cdot raizM
Vamos reescrever isso exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
T = 2,718 cdot raiz0,600 approx 2,718 cdot 0,7746 approx 2,100 , s
Sabendo que , temos:
Agora, vamos testar essa equação para um ponto interpolado. Por exemplo, para kg:
Se no gráfico correspondente kg tivesse aproximadamente 2,10 s, a equação estaria funcionando bem.

Resposta

A equação empírica que relaciona o período de oscilação T = 2,718 cdot raizM com a massa é:
Testando para kg, obtemos s, que deve corresponder ao valor interpolado no gráfico. Assim, a equação representa adequadamente o fenômeno estudado.

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