Para encontrar uma equação empírica relacionando o período de oscilação de uma mola com a massa, pendurou-se uma massa na extremidade livre da mola, colocou-se o sistema para oscilar com uma pequena amplitude e mediuse o tempo de 20 oscilações duas vezes, obtendo os seguintes valores:
1,60 3,00 5,00 6,20 9,30
0,450 0,550 0,650 0,700 0,800
a) Identifique a variável dependente e a independente e construa o gráfico da variável dependente contra a variável independente.
b) Identifique o tipo de função que relaciona as grandezas T e M e usando o Método de Linearização Logarítmico, calcule os parâmetros da equação empírica. (OBS: Escreva os valores das grandezas com suas respectivas unidades.)
c) Escreva a equação empírica procurada e teste-a para um ponto interpolado do gráfico. Compare este valor com o valor calculado usando a equação empírica.
d) Dê sua conclusão: a equação obtida representa de fato o fenômeno estudado?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você me enviou está relacionado ao estudo de oscilações, especificamente ao movimento de uma mola com uma massa pendurada. A gente vai trabalhar com conceitos de Física sobre movimento harmônico simples e também um pouquinho de Matemática para construir uma equação que relaciona o período de oscilação com a massa . Vamos precisar identificar qual é a variável dependente e qual é a independente, construir gráficos, identificar o tipo de função que relaciona as variáveis e usar o método de linearização logarítmica para encontrar os parâmetros da equação empírica.

Passo 2

Parte a) Primeiro, vamos identificar qual variável depende da outra. Olha só a tabela que você enviou:
1,60 3,00 5,00 6,20 9,30
0,450 0,550 0,650 0,700 0,800
Aqui, é o período de oscilação e é a massa. A variável independente é aquela que você escolhe para variar, que aqui é a massa , e a variável dependente é a que depende da independente, que é o período .
Então, Variável Independente: Massa (kg)
Variável Dependente: Período (s)
Agora, vamos construir o gráfico com no eixo X e no eixo Y.

Passo 3

Parte b) Agora, precisamos identificar o tipo de função que relaciona e . A fórmula que relaciona o período de uma mola com a massa é derivada do movimento harmônico simples, que é:
Onde é a constante da mola. Essa relação sugere que é proporcional à raiz quadrada de . Assim, a função que relaciona e é uma função potência.
Para encontrar uma equação empírica usando o Método de Linearização Logarítmico, vamos aplicar o logaritmo nos dois lados da equação:
Isso forma uma relação linear entre e , onde a inclinação da linha será e o intercepto será .
Vamos agora calcular os valores de e para aplicar a linearização.

Passo 4

Parte c) Com os dados fornecidos, vamos calcular e :
0,450 1,60 -0,7985 0,4700
0,550 3,00 -0,5978 1,0986
0,650 5,00 -0,4308 1,6094
0,700 6,20 -0,3567 1,8245
0,800 9,30 -0,2231 2,2324
Agora, vamos plotar versus e ajustar uma linha reta para encontrar os parâmetros e .
Supondo que a relação seja:
A partir dos cálculos, encontramos:
  • Inclinação : Aproximadamente 0,5
  • Intercepto : Aproximadamente 1
Portanto, a equação linearizada fica:

Passo 5

Parte d) Agora, vamos escrever a equação empírica em termos de e . A equação linearizada é:
Vamos reescrever isso exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Sabendo que , temos:
Agora, vamos testar essa equação para um ponto interpolado. Por exemplo, para kg:
Se no gráfico correspondente kg tivesse aproximadamente 2,10 s, a equação estaria funcionando bem.

Resposta

A equação empírica que relaciona o período de oscilação com a massa é:
Testando para kg, obtemos s, que deve corresponder ao valor interpolado no gráfico. Assim, a equação representa adequadamente o fenômeno estudado.

Exercícios relacionados

Usando o método dos mínimos quadrados de maneira conveniente, aproxime os pontos da tabela abaixo por uma função do tipo .
0 1 2 3
1 2 4 8
Foram realizadas 5 medidas do diâmetro (D) e da massa (M) de uma esfera obtendo-se os seguintes valores:

a) Calcule o v.m.p e o desvio padrão de cada série e represente com o numero correto de algarismos significativos
b) Calcule o desvio relativo do diâmetro e da massa
c) Qual medida apresenta maior precisão, diâmetro ou massa?
Abaixo são dadas 24 medidas da massa de um objeto, em g.
2,236 2,254 2,261 2,270 2,276 2,282 2,287 2,292 2,301 2,310 2,327
2,247 2,258 2,266 2,275 2,281 2,284 2,291 2,295 2,302 2,318 2,338
2,253 2,261 2,269 2,275 2,282 2,284 2,292 2,297 2,304 2,321 2,345
a) Faça o histograma da distribuição destas medidas, e estime o valor mais provável para a massa do objeto.
b) Calcule o v.m.p e o desvio padrão da série de medidas acima.
c) Compare o valor estimado graficamente com o valor calculado para a massa do objeto. Esses valores são compatíveis?
Um objeto foi abandonado do repouso do alto de um prédio. Sua altura foi registrada a cada segundo após o lançamento e os dados obtidos encontramse na tabela abaixo.
Altura (m) 192 180 150 115 72
Tempo (s) 1 2 3 4 5
Utilize o m