Abaixo temos equações diferenciais e funções indicadas ao lado. Faça o que se pede:
I. Mostre que a função indicada é solução explícita da equação diferencial dada;
II. Aponte o domínio da função indicada;
III. Considerando a função como solução da equação, determine um intervalo I de definição da solução.
(a)
I. Mostre que a função indicada é solução explícita da equação diferencial dada;
II. Aponte o domínio da função indicada;
III. Considerando a função como solução da equação, determine um intervalo I de definição da solução.
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial e uma função que supostamente resolve essa equação. Nosso objetivo é:
I. Verificar se a função
resolve a equação diferencial
.
II. Identificar o domínio dessa função.
III. Encontrar um intervalo onde essa solução está definida.
Para resolver isso, vamos lembrar o que é uma equação diferencial e como verificar se uma função é solução dela.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se
realmente resolve a equação diferencial
.
Para isso, precisamos calcular a derivada de
em relação a
:
Agora, substituímos
e
na equação diferencial:
Como a equação se iguala a zero, mostramos que
é, de fato, uma solução da equação diferencial dada.
Passo 3
Vamos agora determinar o domínio da função
.
A função exponencial
está definida para todo número real
. Como estamos multiplicando por 2, que é uma constante, o domínio não muda.
Portanto, o domínio de
é:
Isso significa que
está definida para todos os valores reais de
.
Passo 4
Por fim, vamos determinar um intervalo
onde a solução
está definida.
Como vimos, o domínio da função é todo o conjunto dos números reais. Logo, podemos escolher qualquer intervalo que esteja contido em
.
Por exemplo, podemos escolher:
Isso significa que a solução está definida para qualquer valor de
real.
Resposta
A função
é uma solução explícita da equação diferencial
. O domínio da função é todo o conjunto dos números reais, ou seja,
. Considerando a função como solução, o intervalo de definição é
.
Exercícios relacionados
Encontre solução geral para as EDO.
.
Resp. d) .
Resp. d)
Dado que
é uma solução explícita da equação
, qual dos itens apresenta o maior intervalo de definição possível para esta solução? justifique sua escolha.
(e)
(e)
Abaixo temos equações diferenciais e funções indicadas ao lado. Faça o que se pede:
I. Mostre que a função indicada é solução explícita da equação diferencial dada;
II. Aponte o domínio da função indicada;
III. Considerando a função como solução da equação, determine um intervalo I de definição da solução.
(e)
I. Mostre que a função indicada é solução explícita da equação diferencial dada;
II. Aponte o domínio da função indicada;
III. Considerando a função como solução da equação, determine um intervalo I de definição da solução.
(e)
Determine um fator integrante e resolva.
;
Resp. b) ,
Resp. b)