Abaixo temos equações diferenciais e funções indicadas ao lado. Faça o que se pede:
I. Mostre que a função indicada é solução explícita da equação diferencial dada;
II. Aponte o domínio da função indicada;
III. Considerando a função como solução da equação, determine um intervalo I de definição da solução.
(a)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial e uma função que supostamente resolve essa equação. Nosso objetivo é:
I. Verificar se a função resolve a equação diferencial .
II. Identificar o domínio dessa função.
III. Encontrar um intervalo onde essa solução está definida.
Para resolver isso, vamos lembrar o que é uma equação diferencial e como verificar se uma função é solução dela.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se realmente resolve a equação diferencial .
Para isso, precisamos calcular a derivada de em relação a :
Agora, substituímos e na equação diferencial:
Como a equação se iguala a zero, mostramos que é, de fato, uma solução da equação diferencial dada.

Passo 3

Vamos agora determinar o domínio da função .
A função exponencial está definida para todo número real . Como estamos multiplicando por 2, que é uma constante, o domínio não muda.
Portanto, o domínio de é:
Isso significa que está definida para todos os valores reais de .

Passo 4

Por fim, vamos determinar um intervalo onde a solução está definida.
Como vimos, o domínio da função é todo o conjunto dos números reais. Logo, podemos escolher qualquer intervalo que esteja contido em .
Por exemplo, podemos escolher:
Isso significa que a solução está definida para qualquer valor de real.

Resposta

A função é uma solução explícita da equação diferencial . O domínio da função é todo o conjunto dos números reais, ou seja, . Considerando a função como solução, o intervalo de definição é .

Exercícios relacionados

Encontre solução geral para as EDO. .
Resp. d) .
Dado que é uma solução explícita da equação , qual dos itens apresenta o maior intervalo de definição possível para esta solução? justifique sua escolha.
(e)
Abaixo temos equações diferenciais e funções indicadas ao lado. Faça o que se pede:
I. Mostre que a função indicada é solução explícita da equação diferencial dada;
II. Aponte o domínio da função indicada;
III. Considerando a função como solução da equação, determine um intervalo I de definição da solução.
(e)
Determine um fator integrante e resolva. ;
Resp. b) ,