Abaixo temos equações diferenciais e funções indicadas ao lado. Faça o que se pede:
I. Mostre que a função indicada é solução explícita da equação diferencial dada;
II. Aponte o domínio da função indicada;
III. Considerando a função como solução da equação, determine um intervalo I de definição da solução.
(e)
I. Mostre que a função indicada é solução explícita da equação diferencial dada;
II. Aponte o domínio da função indicada;
III. Considerando a função como solução da equação, determine um intervalo I de definição da solução.
(e)
Passo 1
Ok, vamos lá! Temos uma equação diferencial e uma função fornecida. O que a questão pede é:
I. Mostrar que a função
é uma solução explícita da equação diferencial
.
II. Indicar o domínio dessa função.
III. Determinar um intervalo
onde essa função é a solução definida.
Para resolver isso, vamos precisar saber calcular derivadas de funções e entender o que é uma equação diferencial.
Passo 2
Primeiro, precisamos verificar se
realmente satisfaz a equação diferencial dada. Para isso, vamos calcular a primeira e a segunda derivada de
e substituir na equação.
Passo 3
Vamos calcular a primeira derivada
. Usamos a regra do produto, que diz que a derivada de duas funções multiplicadas é a derivada da primeira vezes a segunda mais a primeira vezes a derivada da segunda.
Passo 4
Agora, vamos calcular a segunda derivada
. Novamente, aplicamos a regra do produto na derivada que acabamos de encontrar.
Passo 5
Agora, substituímos
,
e
na equação diferencial
:
Como a substituição resultou em 0, isso confirma que
é de fato uma solução da equação diferencial dada.
Passo 6
Agora, vamos determinar o domínio da função
. A função exponencial
está definida para todos os números reais e o polinômio
também está definido para todo
real. Portanto, o domínio de
é:
Passo 7
Por fim, precisamos determinar um intervalo
onde essa função é a solução definida da equação diferencial. Como a função é definida para todos os reais e as soluções de equações diferenciais lineares homogêneas como essa são definidas em intervalos onde as funções envolvidas são definidas, podemos escolher:
Resposta
A função
é uma solução explícita da equação diferencial
. Seu domínio é todos os números reais, e o intervalo de definição da solução também é
.
Exercícios relacionados
Abaixo temos equações diferenciais e funções indicadas ao lado. Faça o que se pede:
I. Mostre que a função indicada é solução explícita da equação diferencial dada;
II. Aponte o domínio da função indicada;
III. Considerando a função como solução da equação, determine um intervalo I de definição da solução.
(a)
I. Mostre que a função indicada é solução explícita da equação diferencial dada;
II. Aponte o domínio da função indicada;
III. Considerando a função como solução da equação, determine um intervalo I de definição da solução.
(a)
Encontre solução geral para as EDO.
.
Resp. d) .
Resp. d)
Determine um fator integrante e resolva.
;
Resp. b) ,
Resp. b)
Escreva uma equação que se encaixe na descrição física dada em cada item:
(b) A velocidade no instante de uma partícula que se move ao longo de uma linha reta é proporcional à quarta potência de sua posição
.
(b) A velocidade no instante