Abaixo temos equações diferenciais e funções indicadas ao lado. Faça o que se pede:
I. Mostre que a função indicada é solução explícita da equação diferencial dada;
II. Aponte o domínio da função indicada;
III. Considerando a função como solução da equação, determine um intervalo I de definição da solução.
(e)

Passo 1

Ok, vamos lá! Temos uma equação diferencial e uma função fornecida. O que a questão pede é:
I. Mostrar que a função é uma solução explícita da equação diferencial .
II. Indicar o domínio dessa função.
III. Determinar um intervalo onde essa função é a solução definida.
Para resolver isso, vamos precisar saber calcular derivadas de funções e entender o que é uma equação diferencial.

Passo 2

Primeiro, precisamos verificar se realmente satisfaz a equação diferencial dada. Para isso, vamos calcular a primeira e a segunda derivada de e substituir na equação.

Passo 3

Vamos calcular a primeira derivada . Usamos a regra do produto, que diz que a derivada de duas funções multiplicadas é a derivada da primeira vezes a segunda mais a primeira vezes a derivada da segunda.

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda derivada . Novamente, aplicamos a regra do produto na derivada que acabamos de encontrar.

Passo 5

Agora, substituímos , e na equação diferencial :
Como a substituição resultou em 0, isso confirma que é de fato uma solução da equação diferencial dada.

Passo 6

Agora, vamos determinar o domínio da função . A função exponencial está definida para todos os números reais e o polinômio também está definido para todo real. Portanto, o domínio de é:
íú

Passo 7

Por fim, precisamos determinar um intervalo onde essa função é a solução definida da equação diferencial. Como a função é definida para todos os reais e as soluções de equações diferenciais lineares homogêneas como essa são definidas em intervalos onde as funções envolvidas são definidas, podemos escolher:
ú

Resposta

A função é uma solução explícita da equação diferencial . Seu domínio é todos os números reais, e o intervalo de definição da solução também é .

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Abaixo temos equações diferenciais e funções indicadas ao lado. Faça o que se pede:
I. Mostre que a função indicada é solução explícita da equação diferencial dada;
II. Aponte o domínio da função indicada;
III. Considerando a função como solução da equação, determine um intervalo I de definição da solução.
(a)
Encontre solução geral para as EDO. .
Resp. d) .
Determine um fator integrante e resolva. ;
Resp. b) ,
Escreva uma equação que se encaixe na descrição física dada em cada item:
(b) A velocidade no instante de uma partícula que se move ao longo de uma linha reta é proporcional à quarta potência de sua posição .