Dado que y = sen(x) é uma solução explícita da equação dy/dx = raiz(1 - y^2), qual dos itens apresenta o maior intervalo de definição possível para esta solução? justifique sua escolha.
(e) [-pi / 2, pi / 2]

Passo 1

Então, você tem a função que é uma solução explícita da equação diferencial . Nosso objetivo aqui é descobrir qual dos intervalos apresentados dá o maior intervalo possível onde essa solução é válida. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções trigonométricas e equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se realmente satisfaz a equação diferencial dada. Para isso, precisamos calcular a derivada de em relação a e ver se ela é igual a .

Passo 3

A derivada de em relação a é:

Passo 4

Agora, vamos calcular :

Passo 5

Então, a equação diferencial fica:
Comparando isso com a derivada que calculamos, que é , vemos que para ser igual a , o cosseno de precisa ser não negativo, ou seja, .

Passo 6

Vamos lembrar que o cosseno de é não negativo no intervalo onde está entre e . Fora desse intervalo, o cosseno de pode ser negativo, o que faria com que não fosse igual a .

Passo 7

Portanto, para garantir que seja uma solução válida da equação diferencial , o intervalo de deve estar dentro de .

Resposta

A opção (e) apresenta o maior intervalo de definição possível para a solução .

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