Determine um fator integrante e resolva. ;
Resp. b) ,

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: . O que a gente precisa aqui é encontrar um fator integrante para facilitar a solução e, depois disso, resolver a equação. Vamos usar um pouco de cálculo e teoria de equações diferenciais para chegar na resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos da equação. Podemos escrever a equação na forma padrão:
Aqui, temos:
Para verificar se a equação é exata, a gente precisa ver se a derivada parcial de em relação a é igual à derivada parcial de em relação a .

Passo 3

Vamos calcular essas derivadas:
Como , a equação não é exata. Então, precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata.

Passo 4

Vamos buscar um fator integrante que seja função de apenas, ou seja, . A condição para isso é:
Substituindo os valores que já temos:
Então, temos a equação diferencial:

Passo 5

Resolvendo essa equação diferencial simples:
Como é uma constante, podemos simplificar para:

Passo 6

Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
A nova equação é:
onde:
Agora, vamos verificar se a equação é exata:
Como são iguais, a equação é exata!

Passo 7

Para resolver a equação exata, vamos integrar em relação a :
Onde é uma função de que será determinada.
Derivando essa expressão em relação a e igualando com :
Isso implica que , então é uma constante.

Resposta

Portanto, a solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante.

Exercícios relacionados

Abaixo temos equações diferenciais e funções indicadas ao lado. Faça o que se pede:
I. Mostre que a função indicada é solução explícita da equação diferencial dada;
II. Aponte o domínio da função indicada;
III. Considerando a função como solução da equação, determine um intervalo I de definição da solução.
(e)
Abaixo temos equações diferenciais e funções indicadas ao lado. Faça o que se pede:
I. Mostre que a função indicada é solução explícita da equação diferencial dada;
II. Aponte o domínio da função indicada;
III. Considerando a função como solução da equação, determine um intervalo I de definição da solução.
(a)
Escreva uma equação que se encaixe na descrição física dada em cada item:
(b) A velocidade no instante de uma partícula que se move ao longo de uma linha reta é proporcional à quarta potência de sua posição .
Abaixo temos equações diferenciais e funções indicadas ao lado. Faça o que se pede:
I. Mostre que a função indicada é solução explícita da equação diferencial dada;
II. Aponte o domínio da função indicada;
III. Considerando a função como solução da equação, determine um intervalo I de definição da solução.
(b)