Determine um fator integrante e resolva.
;
Resp. b)
,
Resp. b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
. O que a gente precisa aqui é encontrar um fator integrante para facilitar a solução e, depois disso, resolver a equação. Vamos usar um pouco de cálculo e teoria de equações diferenciais para chegar na resposta final.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os termos da equação. Podemos escrever a equação na forma padrão:
Aqui, temos:
Para verificar se a equação é exata, a gente precisa ver se a derivada parcial de
em relação a
é igual à derivada parcial de
em relação a
.
Passo 3
Vamos calcular essas derivadas:
Como
, a equação não é exata. Então, precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata.
Passo 4
Vamos buscar um fator integrante que seja função de
apenas, ou seja,
. A condição para isso é:
Substituindo os valores que já temos:
Então, temos a equação diferencial:
Passo 5
Resolvendo essa equação diferencial simples:
Como
é uma constante, podemos simplificar para:
Passo 6
Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
A nova equação é:
onde:
Agora, vamos verificar se a equação é exata:
Como são iguais, a equação é exata!
Passo 7
Para resolver a equação exata, vamos integrar
em relação a
:
Onde
é uma função de
que será determinada.
Derivando essa expressão em relação a
e igualando com
:
Isso implica que
, então
é uma constante.
Resposta
Portanto, a solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante.
Exercícios relacionados
Abaixo temos equações diferenciais e funções indicadas ao lado. Faça o que se pede:
I. Mostre que a função indicada é solução explícita da equação diferencial dada;
II. Aponte o domínio da função indicada;
III. Considerando a função como solução da equação, determine um intervalo I de definição da solução.
(e)
I. Mostre que a função indicada é solução explícita da equação diferencial dada;
II. Aponte o domínio da função indicada;
III. Considerando a função como solução da equação, determine um intervalo I de definição da solução.
(e)
Abaixo temos equações diferenciais e funções indicadas ao lado. Faça o que se pede:
I. Mostre que a função indicada é solução explícita da equação diferencial dada;
II. Aponte o domínio da função indicada;
III. Considerando a função como solução da equação, determine um intervalo I de definição da solução.
(a)
I. Mostre que a função indicada é solução explícita da equação diferencial dada;
II. Aponte o domínio da função indicada;
III. Considerando a função como solução da equação, determine um intervalo I de definição da solução.
(a)
Escreva uma equação que se encaixe na descrição física dada em cada item:
(b) A velocidade no instante de uma partícula que se move ao longo de uma linha reta é proporcional à quarta potência de sua posição
.
(b) A velocidade no instante
Abaixo temos equações diferenciais e funções indicadas ao lado. Faça o que se pede:
I. Mostre que a função indicada é solução explícita da equação diferencial dada;
II. Aponte o domínio da função indicada;
III. Considerando a função como solução da equação, determine um intervalo I de definição da solução.
(b)
I. Mostre que a função indicada é solução explícita da equação diferencial dada;
II. Aponte o domínio da função indicada;
III. Considerando a função como solução da equação, determine um intervalo I de definição da solução.
(b)