Abaixo temos equações diferenciais e funções indicadas ao lado. Faça o que se pede:
I. Mostre que a função indicada é solução explícita da equação diferencial dada;
II. Aponte o domínio da função indicada;
III. Considerando a função como solução da equação, determine um intervalo I de definição da solução.
(b)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial dada por e uma função sugerida . Nosso objetivo é:
  1. Mostrar que é realmente uma solução dessa equação.
  2. Apontar o domínio dessa função .
  3. Determinar um intervalo onde a solução está bem definida.
Vamos precisar entender um pouquinho sobre equações diferenciais e como verificar se uma função é solução delas. Não se preocupe, vou explicar cada parte!

Passo 2

I. Mostrando que é solução da equação diferencial.
Primeiro, vamos lembrar que para verificar se uma função é solução de uma equação diferencial, a gente substitui a função e suas derivadas na equação e vê se a igualdade se mantém.
Vamos calcular a derivada de :
Agora, substituindo e na equação diferencial:
Viu só? A igualdade se mantém verdadeira, então de fato é uma solução da equação diferencial dada.

Passo 3

II. Apontando o domínio da função .
O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. Olhando para :
  • Não temos nenhuma divisão por zero, raiz quadrada de número negativo ou logaritmo de números não positivos que limitaria o domínio.
  • Portanto, está definida para todos os números reais.
Então, o domínio de é:

Passo 4

III. Determinando um intervalo de definição da solução.
Agora, considerando a equação diferencial , precisamos verificar onde essa equação faz sentido e onde a solução está bem definida.
Observando a equação:
  • Temos um termo , o que implica que não pode ser zero, porque estaríamos multiplicando por zero e pode afetar a análise da equação.
  • Além disso, já vimos que está definida para todos os , mas a equação diferencial pode ter restrições.
Então, o intervalo de definição da solução é onde . Podemos escolher como ou , dependendo do contexto, mas geralmente consideramos .

Resposta

  1. I. A função é solução da equação diferencial .
  2. II. O domínio de é (todos os números reais).
  3. III. O intervalo de definição da solução é .

Exercícios relacionados

Escreva uma equação que se encaixe na descrição física dada em cada item:
(b) A velocidade no instante de uma partícula que se move ao longo de uma linha reta é proporcional à quarta potência de sua posição .
Determine um fator integrante e resolva. ;
Resp. b) ,
Abaixo temos equações diferenciais e funções indicadas ao lado. Faça o que se pede:
I. Mostre que a função indicada é solução explícita da equação diferencial dada;
II. Aponte o domínio da função indicada;
III. Considerando a função como solução da equação, determine um intervalo I de definição da solução.
©
Dado que é uma solução explícita da equação , qual dos itens apresenta o maior intervalo de definição possível para esta solução? justifique sua escolha.
(a)