Abaixo temos equações diferenciais e funções indicadas ao lado. Faça o que se pede:
I. Mostre que a função indicada é solução explícita da equação diferencial dada;
II. Aponte o domínio da função indicada;
III. Considerando a função como solução da equação, determine um intervalo I de definição da solução.
(b)
I. Mostre que a função indicada é solução explícita da equação diferencial dada;
II. Aponte o domínio da função indicada;
III. Considerando a função como solução da equação, determine um intervalo I de definição da solução.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial dada por
e uma função sugerida
. Nosso objetivo é:
- Mostrar que
é realmente uma solução dessa equação. - Apontar o domínio dessa função
. - Determinar um intervalo
onde a solução está bem definida.
Vamos precisar entender um pouquinho sobre equações diferenciais e como verificar se uma função é solução delas. Não se preocupe, vou explicar cada parte!
Passo 2
I. Mostrando que
é solução da equação diferencial.
Primeiro, vamos lembrar que para verificar se uma função é solução de uma equação diferencial, a gente substitui a função e suas derivadas na equação e vê se a igualdade se mantém.
Vamos calcular a derivada de
:
Agora, substituindo
e
na equação diferencial:
Viu só? A igualdade se mantém verdadeira, então
de fato é uma solução da equação diferencial dada.
Passo 3
II. Apontando o domínio da função
.
O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. Olhando para
:
- Não temos nenhuma divisão por zero, raiz quadrada de número negativo ou logaritmo de números não positivos que limitaria o domínio.
- Portanto,
está definida para todos os números reais.
Então, o domínio de
é:
Passo 4
III. Determinando um intervalo
de definição da solução.
Agora, considerando a equação diferencial
, precisamos verificar onde essa equação faz sentido e onde a solução
está bem definida.
Observando a equação:
- Temos um termo
, o que implica que não pode ser zero, porque estaríamos multiplicando por zero e pode afetar a análise da equação. - Além disso, já vimos que
está definida para todos os , mas a equação diferencial pode ter restrições.
Então, o intervalo
de definição da solução é onde
. Podemos escolher
como
ou
, dependendo do contexto, mas geralmente consideramos
.
Resposta
- I. A função
é solução da equação diferencial . - II. O domínio de
é (todos os números reais). - III. O intervalo de definição da solução é
.
Exercícios relacionados
Escreva uma equação que se encaixe na descrição física dada em cada item:
(b) A velocidade no instante de uma partícula que se move ao longo de uma linha reta é proporcional à quarta potência de sua posição
.
(b) A velocidade no instante
Determine um fator integrante e resolva.
;
Resp. b) ,
Resp. b)
Abaixo temos equações diferenciais e funções indicadas ao lado. Faça o que se pede:
I. Mostre que a função indicada é solução explícita da equação diferencial dada;
II. Aponte o domínio da função indicada;
III. Considerando a função como solução da equação, determine um intervalo I de definição da solução.
©
I. Mostre que a função indicada é solução explícita da equação diferencial dada;
II. Aponte o domínio da função indicada;
III. Considerando a função como solução da equação, determine um intervalo I de definição da solução.
©
Dado que
é uma solução explícita da equação
, qual dos itens apresenta o maior intervalo de definição possível para esta solução? justifique sua escolha.
(a)
(a)