Abaixo temos equações diferenciais e funções indicadas ao lado. Faça o que se pede:
I. Mostre que a função indicada é solução explícita da equação diferencial dada;
II. Aponte o domínio da função indicada;
III. Considerando a função como solução da equação, determine um intervalo I de definição da solução.
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Passo 1

Beleza! Vamos dar uma olhada no que foi pedido. Temos uma equação diferencial e uma função específica associada a ela:
Vamos trabalhar com isso para:
  1. Mostrar que essa função é uma solução da equação diferencial.
  2. Determinar o domínio dessa função.
  3. Encontrar um intervalo onde essa solução é válida.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a função realmente satisfaz a equação diferencial dada. Para isso, precisamos calcular a derivada de em relação a , ou seja, .
A função dada é:
Vamos derivar termo por termo:
  • A derivada de em relação a é 1.
  • A derivada de é .
Então:

Passo 3

Agora que temos e , vamos substituir esses valores na equação diferencial para verificar se a igualdade é verdadeira.
A equação diferencial é:
Substituindo e :
Primeiro, calcule :
Agora, substitua na equação:
Simplificando o lado esquerdo:
Isso confirma que ambos os lados são iguais:
Portanto, a função é, de fato, uma solução da equação diferencial dada.

Passo 4

Agora, vamos determinar o domínio da função . O domínio é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida.
Observando a função, temos a raiz quadrada . Para que a expressão dentro da raiz seja não negativa (já que a raiz quadrada de um número negativo não é real), devemos ter:
Portanto, o domínio da função é todos os números reais tais que .

Passo 5

Por fim, vamos determinar um intervalo onde a solução está definida. Considerando que já estabelecemos o domínio como , podemos escolher um intervalo que esteja dentro desse domínio.
Por exemplo, podemos escolher , que inclui todos os valores de maiores ou iguais a -2. Nesse intervalo, a função está bem definida e satisfaz a equação diferencial.

Resposta

A função é solução da equação diferencial dada, está definida para todos os maiores ou iguais a -2 e o intervalo de definição da solução é .

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Abaixo temos equações diferenciais e funções indicadas ao lado. Faça o que se pede:
I. Mostre que a função indicada é solução explícita da equação diferencial dada;
II. Aponte o domínio da função indicada;
III. Considerando a função como solução da equação, determine um intervalo I de definição da solução.
(b)
Escreva uma equação que se encaixe na descrição física dada em cada item:
(b) A velocidade no instante de uma partícula que se move ao longo de uma linha reta é proporcional à quarta potência de sua posição .
Dado que é uma solução explícita da equação , qual dos itens apresenta o maior intervalo de definição possível para esta solução? justifique sua escolha.
(a)
Determine se as séries abaixo convergem ou divergem (ESCOLHA 3 DAS 4 SÉRIES PARA RESOLVER):