Abaixo temos equações diferenciais e funções indicadas ao lado. Faça o que se pede:
I. Mostre que a função indicada é solução explícita da equação diferencial dada;
II. Aponte o domínio da função indicada;
III. Considerando a função como solução da equação, determine um intervalo I de definição da solução.
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I. Mostre que a função indicada é solução explícita da equação diferencial dada;
II. Aponte o domínio da função indicada;
III. Considerando a função como solução da equação, determine um intervalo I de definição da solução.
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Passo 1
Beleza! Vamos dar uma olhada no que foi pedido. Temos uma equação diferencial e uma função específica associada a ela:
Vamos trabalhar com isso para:
- Mostrar que essa função é uma solução da equação diferencial.
- Determinar o domínio dessa função.
- Encontrar um intervalo onde essa solução é válida.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a função
realmente satisfaz a equação diferencial dada. Para isso, precisamos calcular a derivada de
em relação a
, ou seja,
.
A função dada é:
Vamos derivar termo por termo:
- A derivada de
em relação a é 1. - A derivada de
é .
Então:
Passo 3
Agora que temos
e
, vamos substituir esses valores na equação diferencial para verificar se a igualdade é verdadeira.
A equação diferencial é:
Substituindo
e
:
Primeiro, calcule
:
Agora, substitua na equação:
Simplificando o lado esquerdo:
Isso confirma que ambos os lados são iguais:
Portanto, a função
é, de fato, uma solução da equação diferencial dada.
Passo 4
Agora, vamos determinar o domínio da função
. O domínio é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida.
Observando a função, temos a raiz quadrada
. Para que a expressão dentro da raiz seja não negativa (já que a raiz quadrada de um número negativo não é real), devemos ter:
Portanto, o domínio da função é todos os números reais
tais que
.
Passo 5
Por fim, vamos determinar um intervalo
onde a solução
está definida. Considerando que já estabelecemos o domínio como
, podemos escolher um intervalo que esteja dentro desse domínio.
Por exemplo, podemos escolher
, que inclui todos os valores de
maiores ou iguais a -2. Nesse intervalo, a função está bem definida e satisfaz a equação diferencial.
Resposta
A função
é solução da equação diferencial dada, está definida para todos os
maiores ou iguais a -2 e o intervalo de definição da solução é
.
Exercícios relacionados
Abaixo temos equações diferenciais e funções indicadas ao lado. Faça o que se pede:
I. Mostre que a função indicada é solução explícita da equação diferencial dada;
II. Aponte o domínio da função indicada;
III. Considerando a função como solução da equação, determine um intervalo I de definição da solução.
(b)
I. Mostre que a função indicada é solução explícita da equação diferencial dada;
II. Aponte o domínio da função indicada;
III. Considerando a função como solução da equação, determine um intervalo I de definição da solução.
(b)
Escreva uma equação que se encaixe na descrição física dada em cada item:
(b) A velocidade no instante de uma partícula que se move ao longo de uma linha reta é proporcional à quarta potência de sua posição
.
(b) A velocidade no instante
Dado que
é uma solução explícita da equação
, qual dos itens apresenta o maior intervalo de definição possível para esta solução? justifique sua escolha.
(a)
(a)
Determine se as séries abaixo convergem ou divergem (ESCOLHA 3 DAS 4 SÉRIES PARA RESOLVER):