Dado que y = sen(x) é uma solução explícita da equação dy/dx = raiz(1 - y^2), qual dos itens apresenta o maior intervalo de definição possível para esta solução? justifique sua escolha.
(a) -\infty, +\infty

Passo 1

Vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos que a função é uma solução da equação diferencial . Nosso objetivo é descobrir qual dos itens apresentados oferece o maior intervalo de definição possível para essa solução.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada de . A derivada de em relação a é . Portanto, temos:

Passo 3

Agora, vamos analisar a equação diferencial dada:
Substituindo na equação, ficamos com:
Sabemos que , então:

Passo 4

A igualdade só é verdadeira quando . Isso significa que a solução satisfaz a equação diferencial apenas nos intervalos onde é não negativa.

Passo 5

Vamos encontrar os valores de para os quais . Sabemos que isso ocorre nos intervalos:
Isso significa que a função é uma solução válida da equação diferencial apenas nesses intervalos, que têm comprimento máximo de .

Resposta

A opção (a) não é correta, pois a solução só satisfaz a equação diferencial nos intervalos onde . Portanto, o maior intervalo de definição possível para essa solução é de comprimento , não todo o conjunto dos números reais.

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