Determine se as séries abaixo convergem ou divergem (ESCOLHA 3 DAS 4 SÉRIES PARA RESOLVER): sumn=1^infty (n+1)^2 ne^3 n(n^2 e^-2)^2 n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar se a série converge ou diverge. Para isso, vamos precisar conhecer alguns testes de convergência de séries infinitas, como o Teste da Razão ou o Teste da Comparação. Vamos resolver essa série passo a passo para entender direitinho como aplicar esses conceitos.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para facilitar a análise. Vamos olhar para o termo geral da série:
(n+1)^2ne^3n(n^2 e^-2)^2n
Vamos simplificar o denominador:
(n^2 e^-2)^2n = n^4n e^-4n
Agora, nosso termo geral fica:
(n+1)^2ne^3n cdot n^4n e^-4n = (n+1)^2nn^4n e^3n cdot e^-4n = (n+1)^2nn^4n e^-n

Passo 3

Vamos escrever (n+1)^2nn^4n cdot e^n no numerador para simplificar ainda mais:
((n+1)^2n^4)^n cdot e^n
Agora, podemos reescrever a expressão como:
(n+1)^2n^4 = n^2 + 2n + 1n^4 = 1n^2 + 2n^3 + 1n^4
Simplificando a fração dentro do parêntese:
(n+1)^2n^4 approx 1n^2
Para valores grandes de , os termos e se tornam negligíveis, então podemos aproximar:

Passo 4

Agora, nossa expressão aproxima para:
(1n^2)^n cdot e^n = e^nn^2n
Para analisar a convergência dessa série, podemos usar o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a determinar o comportamento de séries com termos que envolvem potências de .

Passo 5

Aplicando o Teste da Razão, vamos calcular o limite:
L = limn to infty | an+1an |
Onde an+1an = e^n+1(n+1)^2(n+1) cdot n^2ne^n = e cdot n^2n(n+1)^2n + 2 . Então:
Podemos simplificar essa expressão:
e cdot (nn+1)^2n cdot 1(n+1)^2
Sabemos que . Para grandes valores de , isso se aproxima de , pois .

Passo 6

Substituindo essa aproximação:
L approx e cdot e^-2 cdot 1n^2 = e^-1 cdot 1n^2
Agora, calculamos o limite quando L = limn to infty e^-1 cdot 1n^2 = 0 tende a infinito:

Passo 7

Segundo o Teste da Razão, se , a série converge absolutamente. Neste caso, , que é definitivamente menor que 1. Portanto, podemos concluir que a série dada converge.

Resposta

A série converge.

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