Determine se as séries abaixo convergem ou divergem (ESCOLHA 3 DAS 4 SÉRIES PARA RESOLVER):

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar se a série converge ou diverge. Para isso, vamos precisar conhecer alguns testes de convergência de séries infinitas, como o Teste da Razão ou o Teste da Comparação. Vamos resolver essa série passo a passo para entender direitinho como aplicar esses conceitos.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para facilitar a análise. Vamos olhar para o termo geral da série:
Vamos simplificar o denominador:
Agora, nosso termo geral fica:

Passo 3

Vamos escrever no numerador para simplificar ainda mais:
Agora, podemos reescrever a expressão como:
Simplificando a fração dentro do parêntese:
Para valores grandes de , os termos e se tornam negligíveis, então podemos aproximar:

Passo 4

Agora, nossa expressão aproxima para:
Para analisar a convergência dessa série, podemos usar o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a determinar o comportamento de séries com termos que envolvem potências de .

Passo 5

Aplicando o Teste da Razão, vamos calcular o limite:
Onde . Então:
Podemos simplificar essa expressão:
Sabemos que . Para grandes valores de , isso se aproxima de , pois .

Passo 6

Substituindo essa aproximação:
Agora, calculamos o limite quando tende a infinito:

Passo 7

Segundo o Teste da Razão, se , a série converge absolutamente. Neste caso, , que é definitivamente menor que 1. Portanto, podemos concluir que a série dada converge.

Resposta

A série converge.

Exercícios relacionados

Dado que é uma solução explícita da equação , qual dos itens apresenta o maior intervalo de definição possível para esta solução? justifique sua escolha.
(a)
Abaixo temos equações diferenciais e funções indicadas ao lado. Faça o que se pede:
I. Mostre que a função indicada é solução explícita da equação diferencial dada;
II. Aponte o domínio da função indicada;
III. Considerando a função como solução da equação, determine um intervalo I de definição da solução.
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Determine se as séries abaixo convergem ou divergem (ESCOLHA 3 DAS 4 SÉRIES PARA RESOLVER):
Encontre a série de Maclaurin da função e escreva seu termo geral. Depois use-a para calcular um valor aproximado da integral (use os três primeiros termos da série).