Determine se as séries abaixo convergem ou divergem (ESCOLHA 3 DAS 4 SÉRIES PARA RESOLVER):
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar se a série converge ou diverge. Para isso, vamos precisar conhecer alguns testes de convergência de séries infinitas, como o Teste da Razão ou o Teste da Comparação. Vamos resolver essa série passo a passo para entender direitinho como aplicar esses conceitos.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para facilitar a análise. Vamos olhar para o termo geral da série:
Vamos simplificar o denominador:
Agora, nosso termo geral fica:
Passo 3
Vamos escrever no numerador para simplificar ainda mais:
Agora, podemos reescrever a expressão como:
Simplificando a fração dentro do parêntese:
Para valores grandes de , os termos e se tornam negligíveis, então podemos aproximar:
Passo 4
Agora, nossa expressão aproxima para:
Para analisar a convergência dessa série, podemos usar o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a determinar o comportamento de séries com termos que envolvem potências de .
Passo 5
Aplicando o Teste da Razão, vamos calcular o limite:
Onde an+1an = e^n+1(n+1)^2(n+1) cdot n^2ne^n = e cdot n^2n(n+1)^2n + 2 . Então:
Podemos simplificar essa expressão:
e cdot (nn+1)^2n cdot 1(n+1)^2
Sabemos que . Para grandes valores de , isso se aproxima de , pois .
Passo 6
Substituindo essa aproximação:
L approx e cdot e^-2 cdot 1n^2 = e^-1 cdot 1n^2
Agora, calculamos o limite quando L = limn to infty e^-1 cdot 1n^2 = 0 tende a infinito:
Passo 7
Segundo o Teste da Razão, se , a série converge absolutamente. Neste caso, , que é definitivamente menor que 1. Portanto, podemos concluir que a série dada converge.