Abaixo temos a região R delimitada pelas curvas x^2 = y - 2,2y - x - 2 = 0, x = 0 e x = 1. Calcule o volume do sólido gerado pela rotação dessa região em torno do eixo x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma região delimitada por quatro curvas: , , e . O objetivo é calcular o volume do sólido que resulta ao girar essa região em torno do eixo . Para isso, vamos usar o método dos discos, que envolve integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como as curvas se comportam. A equação é uma parábola que abre para cima, deslocada 2 unidades para baixo. A equação pode ser rearranjada para , que é uma reta.

Passo 3

Vamos encontrar os pontos de interseção entre a parábola e a reta. Igualando as duas equações:
Multiplicando tudo por 2 para eliminar o denominador:
Resolvendo essa equação quadrática pelo método da fatoração ou fórmula de Bhaskara, encontramos e , mas como nosso intervalo é de a , vamos considerar apenas .

Passo 4

Agora, para usar o método dos discos, precisamos expressar em função de para ambas as curvas dentro do intervalo de a .
Para a parábola:
Para a reta:

Passo 5

O volume do sólido de revolução é dado pela integral:
Aqui, é a função externa e é a função interna em relação ao eixo .

Passo 6

Vamos calcular as integrais:
Primeiro, expanda os termos:
Substituindo na integral:
Simplificando:

Passo 7

Integrando termo a termo:
Calculando nos limites:
Convertendo para denominadores iguais:
Como volume não pode ser negativo, tomamos o valor absoluto:

Resposta

O volume do sólido gerado é unidades cúbicas.

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