Abaixo temos a região
delimitada pelas curvas
,
e
. Calcule o volume do sólido gerado pela rotação dessa região em torno do eixo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma região
delimitada por quatro curvas:
,
,
e
. O objetivo é calcular o volume do sólido que resulta ao girar essa região em torno do eixo
. Para isso, vamos usar o método dos discos, que envolve integração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como as curvas se comportam. A equação
é uma parábola que abre para cima, deslocada 2 unidades para baixo. A equação
pode ser rearranjada para
, que é uma reta.
Passo 3
Vamos encontrar os pontos de interseção entre a parábola e a reta. Igualando as duas equações:
Multiplicando tudo por 2 para eliminar o denominador:
Resolvendo essa equação quadrática pelo método da fatoração ou fórmula de Bhaskara, encontramos
e
, mas como nosso intervalo é de
a
, vamos considerar apenas
.
Passo 4
Agora, para usar o método dos discos, precisamos expressar
em função de
para ambas as curvas dentro do intervalo de
a
.
Para a parábola:
Para a reta:
Passo 5
O volume
do sólido de revolução é dado pela integral:
Aqui,
é a função externa e
é a função interna em relação ao eixo
.
Passo 6
Vamos calcular as integrais:
Primeiro, expanda os termos:
Substituindo na integral:
Simplificando:
Passo 7
Integrando termo a termo:
Calculando nos limites:
Convertendo para denominadores iguais:
Como volume não pode ser negativo, tomamos o valor absoluto:
Resposta
O volume do sólido gerado é
unidades cúbicas.