Calcule a integral:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo juntos! A questão pede para calcular a integral definida de
de 0 a 1. Isso envolve o conceito de integrais de funções exponenciais. Para isso, vamos precisar saber como integrar potências com bases diferentes, usando logaritmos naturais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a integral de uma função exponencial da forma
em relação a
é dada por:
Aqui,
é a base da exponencial e
é o logaritmo natural de
.
Passo 3
Aplicando essa fórmula à nossa integral, temos que integrar
e
separadamente:
Passo 4
Agora, juntando as duas integrais, a antiderivada da função
é:
Como estamos lidando com uma integral definida de 0 a 1, vamos avaliar essa antiderivada nos limites de 1 e 0.
Passo 5
Primeiro, avaliamos em
:
Depois, avaliamos em
:
Passo 6
Subtraindo os valores avaliados nos limites, temos:
Vamos simplificar isso:
Resposta
A integral
é igual a
.
Exercícios relacionados
Calcule a integral:
Abaixo temos a região
delimitada pelas curvas
,
e
. Calcule o volume do sólido gerado pela rotação dessa região em torno do eixo
.
Ache as derivadas parciais de primeira ordem de
.
b)
b)
Seja a função
. Determine:
(a) as derivadas parciais de primeira ordem de .
(b) as derivadas parciais de segunda ordem de .
© os extremos locais e pontos de sela da função , se existirem.
(a) as derivadas parciais de primeira ordem de
(b) as derivadas parciais de segunda ordem de
© os extremos locais e pontos de sela da função