Calcule a integral: integral0^1(5^t-3^t) d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo juntos! A questão pede para calcular a integral definida de de 0 a 1. Isso envolve o conceito de integrais de funções exponenciais. Para isso, vamos precisar saber como integrar potências com bases diferentes, usando logaritmos naturais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a integral de uma função exponencial da forma integral a^t , dt = a^tln(a) + C em relação a é dada por:
Aqui, é a base da exponencial e é o logaritmo natural de .

Passo 3

Aplicando essa fórmula à nossa integral, temos que integrar integral 5^t , dt = 5^tln(5) + C e integral -3^t , dt = -3^tln(3) + C separadamente:

Passo 4

Agora, juntando as duas integrais, a antiderivada da função 5^tln(5) - 3^tln(3) + C é:
Como estamos lidando com uma integral definida de 0 a 1, vamos avaliar essa antiderivada nos limites de 1 e 0.

Passo 5

Primeiro, avaliamos em 5^1ln(5) - 3^1ln(3) = 5ln(5) - 3ln(3) :
5^0ln(5) - 3^0ln(3) = 1ln(5) - 1ln(3)
Depois, avaliamos em :

Passo 6

Subtraindo os valores avaliados nos limites, temos:
(5ln(5) - 3ln(3)) - (1ln(5) - 1ln(3))
Vamos simplificar isso:
5 - 1ln(5) - 3 - 1ln(3) = 4ln(5) - 2ln(3)

Resposta

A integral é igual a .

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