Calcule a integral:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo juntos! A questão pede para calcular a integral definida de de 0 a 1. Isso envolve o conceito de integrais de funções exponenciais. Para isso, vamos precisar saber como integrar potências com bases diferentes, usando logaritmos naturais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a integral de uma função exponencial da forma em relação a é dada por:
Aqui, é a base da exponencial e é o logaritmo natural de .

Passo 3

Aplicando essa fórmula à nossa integral, temos que integrar e separadamente:

Passo 4

Agora, juntando as duas integrais, a antiderivada da função é:
Como estamos lidando com uma integral definida de 0 a 1, vamos avaliar essa antiderivada nos limites de 1 e 0.

Passo 5

Primeiro, avaliamos em :
Depois, avaliamos em :

Passo 6

Subtraindo os valores avaliados nos limites, temos:
Vamos simplificar isso:

Resposta

A integral é igual a .

Exercícios relacionados

Calcule a integral:
Abaixo temos a região delimitada pelas curvas , e . Calcule o volume do sólido gerado pela rotação dessa região em torno do eixo .
Ache as derivadas parciais de primeira ordem de .
b)
Seja a função . Determine:
(a) as derivadas parciais de primeira ordem de .
(b) as derivadas parciais de segunda ordem de .
© os extremos locais e pontos de sela da função , se existirem.