Calcule a integral:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O problema pede para calcular a integral definida de
de 1 até
. A gente vai usar técnicas de cálculo, especificamente a substituição, para simplificar e resolver essa integral.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a parte dentro da integral:
. Perceba que temos uma função composta, onde
está ao quadrado e dividido por
. Quando a gente vê algo assim, uma boa estratégia é fazer uma substituição para simplificar a expressão.
Passo 3
Vamos fazer a substituição
. Agora, precisamos encontrar
, que é a derivada de
em relação a
. A derivada de
é
e a derivada de
é
. Então, temos:
Isso significa que
.
Passo 4
Agora, substituímos na integral original. Sabemos que
e
. Assim, a integral fica:
Note que também ajustamos os limites de integração: quando
,
; e quando
,
.
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral de
em relação a
de 1 a 2. A integral de
é:
Como estamos calculando uma integral definida, não precisamos do constante
. Então, avaliamos de 1 a 2:
Resposta
A integral vale
.
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(Movimento Harmônico) Uma partícula de massa m está presa a uma mola e oscila em movimento harmônico simples. Pela Lei de Hook, podemos afirmar que
onde
é o deslocamento máximo,
é o tempo e
é uma constante. Encontre
em funçāo de
, dado que
quando
.
Ache a área da região compreendida entre os gráficos de f e g para
restrito ao intervalo dado:
Calcule a integral:
Abaixo temos a região
delimitada pelas curvas
,
e
. Calcule o volume do sólido gerado pela rotação dessa região em torno do eixo
.