Calcule a integral: integral1^e (1+ln x)^2x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O problema pede para calcular a integral definida de (1 + ln x)^2x de 1 até e. A gente vai usar técnicas de cálculo, especificamente a substituição, para simplificar e resolver essa integral.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a parte dentro da integral: (1 + ln x)^2x. Perceba que temos uma função composta, onde 1 + ln x está ao quadrado e dividido por x. Quando a gente vê algo assim, uma boa estratégia é fazer uma substituição para simplificar a expressão.

Passo 3

Vamos fazer a substituição u = 1 + ln x. Agora, precisamos encontrar du, que é a derivada de u em relação a x. A derivada de 1 é 0 e a derivada de ln x é 1x. Então, temos:
du = 1x dx
Isso significa que dxx = du.

Passo 4

Agora, substituímos na integral original. Sabemos que (1 + ln x)^2 = u^2 e dxx = du. Assim, a integral fica:
integralx=1^x=e (1 + ln x)^2x dx = integralu=1^u=2 u^2 du
Note que também ajustamos os limites de integração: quando x=1, u=1 + ln 1 = 1; e quando x=e, u=1 + ln e = 2.

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral de u^2 em relação a u de 1 a 2. A integral de u^2 é:
integral u^2 du = u^33 + C
Como estamos calculando uma integral definida, não precisamos do constante C. Então, avaliamos de 1 a 2:
[ u^33 ]1^2 = 2^33 - 1^33 = 83 - 13 = 73

Resposta

A integral vale 73.

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