Calcule a integral:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O problema pede para calcular a integral definida de de 1 até . A gente vai usar técnicas de cálculo, especificamente a substituição, para simplificar e resolver essa integral.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a parte dentro da integral: . Perceba que temos uma função composta, onde está ao quadrado e dividido por . Quando a gente vê algo assim, uma boa estratégia é fazer uma substituição para simplificar a expressão.

Passo 3

Vamos fazer a substituição . Agora, precisamos encontrar , que é a derivada de em relação a . A derivada de é e a derivada de é . Então, temos:
Isso significa que .

Passo 4

Agora, substituímos na integral original. Sabemos que e . Assim, a integral fica:
Note que também ajustamos os limites de integração: quando , ; e quando , .

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral de em relação a de 1 a 2. A integral de é:
Como estamos calculando uma integral definida, não precisamos do constante . Então, avaliamos de 1 a 2:

Resposta

A integral vale .

Exercícios relacionados

(Movimento Harmônico) Uma partícula de massa m está presa a uma mola e oscila em movimento harmônico simples. Pela Lei de Hook, podemos afirmar que
onde é o deslocamento máximo, é o tempo e é uma constante. Encontre em funçāo de , dado que quando .
Ache a área da região compreendida entre os gráficos de f e g para restrito ao intervalo dado:
Calcule a integral:
Abaixo temos a região delimitada pelas curvas , e . Calcule o volume do sólido gerado pela rotação dessa região em torno do eixo .