Calcule a integral:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral definida de
no intervalo de 0 a 1. Isso envolve conhecimentos de cálculo de integrais, especificamente de funções racionais. Para resolver, vamos precisar simplificar a fração para facilitar a integração.
Passo 2
Vamos simplificar a expressão
. Para isso, vamos dividir o numerador pelo denominador:
Isso porque
pode ser reescrito como
, então:
Passo 3
Agora que simplificamos a fração, a integral fica mais fácil de resolver:
Vamos integrar termo a termo. Sabemos que:
E:
Portanto:
Passo 4
Agora, vamos calcular a antiderivada nos limites de 0 a 1:
Para
:
Para
:
Passo 5
Subtraindo os valores nos limites:
Resposta
O valor da integral é
.
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(Movimento Harmônico) Uma partícula de massa m está presa a uma mola e oscila em movimento harmônico simples. Pela Lei de Hook, podemos afirmar que
onde
é o deslocamento máximo,
é o tempo e
é uma constante. Encontre
em funçāo de
, dado que
quando
.
Abaixo temos a região
delimitada pelas curvas
,
e
. Calcule o volume do sólido gerado pela rotação dessa região em torno do eixo
.
Calcule a integral: