Calcule a integral: integral0^1 x-1x+1 d x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral definida de x-1x+1 no intervalo de 0 a 1. Isso envolve conhecimentos de cálculo de integrais, especificamente de funções racionais. Para resolver, vamos precisar simplificar a fração para facilitar a integração.

Passo 2

Vamos simplificar a expressão x-1x+1. Para isso, vamos dividir o numerador pelo denominador:
x - 1x + 1 = 1 - 2x + 1
Isso porque x - 1 pode ser reescrito como (x + 1) - 2, então:
(x + 1) - 2x + 1 = x + 1x + 1 - 2x + 1 = 1 - 2x + 1

Passo 3

Agora que simplificamos a fração, a integral fica mais fácil de resolver:
integral0^1 x-1x+1 , dx = integral0^1 (1 - 2x + 1) , dx
Vamos integrar termo a termo. Sabemos que:
integral 1 , dx = x
E:
integral 1x + 1 , dx = ln|x + 1|
Portanto:
integral (1 - 2x + 1) , dx = x - 2 ln|x + 1| + C

Passo 4

Agora, vamos calcular a antiderivada nos limites de 0 a 1:
Para x = 1:
1 - 2 ln(1 + 1) = 1 - 2 ln 2
Para x = 0:
0 - 2 ln(0 + 1) = 0 - 2 ln 1 = 0

Passo 5

Subtraindo os valores nos limites:
(1 - 2 ln 2) - 0 = 1 - 2 ln 2

Resposta

O valor da integral é 1 - 2,ln2.

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