Abandona-se uma pedra de uma altura H do solo, num local onde a aceleração da gravidade é
e o efeito do ar é desprezível. Verifica-se que, no último segundo de queda, a pedra percorre
. Calcule:
a) o tempo de queda;
b) a altura H de queda;
a) o tempo de queda;
b) a altura H de queda;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma pedra que é abandonada do alto H, e a gravidade está puxando ela com uma aceleração de
. Ignoramos o efeito do ar, então é uma queda livre. No último segundo de queda, a pedra percorre
. Vamos usar as fórmulas de movimento uniformemente acelerado para achar:
a) o tempo total de queda;
b) a altura H de onde a pedra foi abandonada.
a) o tempo total de queda;
b) a altura H de onde a pedra foi abandonada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar as fórmulas que usamos para a queda livre. Quando um objeto cai sob a ação da gravidade, sem velocidade inicial, a posição
em função do tempo
é dada por:
E a velocidade
é:
Onde
é a aceleração da gravidade.
Passo 3
Vamos chamar o tempo total de queda de
. A altura total H da queda é, então:
Mas sabemos que no último segundo, ou seja, entre
e
, a pedra cai
. Então, a distância percorrida nesses últimos 1 segundo é:
Passo 4
Vamos calcular
e
usando a fórmula da posição:
A diferença entre eles será:
Simplificando:
Passo 5
Sabemos que essa diferença é igual a
:
Mas também temos que
. Vamos substituir H na equação:
Simplificando:
Passo 6
Vamos dividir toda a equação por
(já que
):
Multiplicando tudo por 8 para eliminar as frações:
Reorganizando a equação:
Passo 7
Agora, temos uma equação quadrática:
Vamos resolver para
usando a fórmula de Bhaskara:
Obtemos duas soluções:
Como o tempo não pode ser menor que 1 segundo nesse contexto, descartamos
.
Passo 8
Então, o tempo total de queda é
segundos.
Passo 9
Agora, vamos encontrar a altura H usando
:
Resposta
a) O tempo de queda é de 2 segundos.
b) A altura H de queda é de 20 metros.
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En las siguientes ecuaciones diferenciales explicita variables dependientes e independientes y el orden de las mismas:
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, e chegam à mão direita. Desprezando a distância entre as mãos, determine o tempo necessário para uma bola sair de uma das mãos do malabarista e chegar à outra, conforme o descrito acima. (Adote g
.)
Calcule os limites: