Abandona-se uma pedra de uma altura H do solo, num local onde a aceleração da gravidade é 10 m/s^2 e o efeito do ar é desprezível. Verifica-se que, no último segundo de queda, a pedra percorre 3 / 4 H. Calcule:
a) o tempo de queda;
b) a altura H de queda;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma pedra que é abandonada do alto H, e a gravidade está puxando ela com uma aceleração de . Ignoramos o efeito do ar, então é uma queda livre. No último segundo de queda, a pedra percorre . Vamos usar as fórmulas de movimento uniformemente acelerado para achar:
a) o tempo total de queda;
b) a altura H de onde a pedra foi abandonada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar as fórmulas que usamos para a queda livre. Quando um objeto cai sob a ação da gravidade, sem velocidade inicial, a posição em função do tempo é dada por:
E a velocidade é:
Onde é a aceleração da gravidade.

Passo 3

Vamos chamar o tempo total de queda de . A altura total H da queda é, então:
Mas sabemos que no último segundo, ou seja, entre e , a pedra cai . Então, a distância percorrida nesses últimos 1 segundo é:

Passo 4

Vamos calcular e usando a fórmula da posição:
A diferença entre eles será:
Simplificando:

Passo 5

Sabemos que essa diferença é igual a :
Mas também temos que . Vamos substituir H na equação:
Simplificando:

Passo 6

Vamos dividir toda a equação por (já que ):
Multiplicando tudo por 8 para eliminar as frações:
Reorganizando a equação:

Passo 7

Agora, temos uma equação quadrática:
Vamos resolver para usando a fórmula de Bhaskara:
Obtemos duas soluções:
Como o tempo não pode ser menor que 1 segundo nesse contexto, descartamos .

Passo 8

Então, o tempo total de queda é segundos.

Passo 9

Agora, vamos encontrar a altura H usando :

Resposta

a) O tempo de queda é de 2 segundos.
b) A altura H de queda é de 20 metros.

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