Calcule os limites: lim x +infty raizx^2+6 x+4-x

Passo 1

Vamos resolver o limite lim x +infty raizx^2+6 x+4-x. Esse exercício faz parte do conteúdo de Cálculo Diferencial e Integral, especificamente no estudo de limites no infinito. Para resolver, precisaremos manipular expressões algébricas e aplicar propriedades de limites.

Passo 2

Primeiro, observamos a expressão raizx^2 + 6x + 4 - x. Nosso objetivo é simplificar essa expressão para facilitar a avaliação do limite quando x tende a mais infinito. Uma técnica útil aqui é racionalizar a expressão, ou seja, multiplicar e dividir pela expressão conjugada para eliminar a raiz.

Passo 3

Multiplicamos a expressão original pela conjugada raizx^2 + 6x + 4 + x tanto no numerador quanto no denominador:
( raizx^2 + 6x + 4 - x ) times raizx^2 + 6x + 4 + xraizx^2 + 6x + 4 + x

Passo 4

No numerador, aplicamos a identidade (a - b)(a + b) = a^2 - b^2:
(raizx^2 + 6x + 4)^2 - x^2 = x^2 + 6x + 4 - x^2 = 6x + 4
Portanto, a expressão fica:
6x + 4raizx^2 + 6x + 4 + x

Passo 5

Agora, para simplificar ainda mais, dividimos o numerador e o denominador por x, o que ajuda a lidar com o comportamento quando x tende a mais infinito:
6 + 4xraiz1 + 6x + 4x^2 + 1
Aqui, usamos a propriedade de que raizx^2 = x para x > 0.

Passo 6

Agora, analisamos o limite de cada termo conforme x tende a mais infinito:
  • 4x 0
  • 6x 0
  • 4x^2 0
Substituindo esses valores na expressão simplificada:
6 + 0raiz1 + 0 + 0 + 1 = 61 + 1 = 62 = 3

Resposta

O limite lim x +infty raizx^2+6 x+4-x é igual a 3.

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