ABCD é um paralelogramo onde A=(1,1), B=(7,3) e C=(9,7). Pelos vértices D e B são traçadas as perpendiculares DE e BF à diagonal AC do paralelogramo.
b) Determine o comprimento do segmento EF.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um paralelogramo ABCD com os vértices A(1,1), B(7,3) e C(9,7). Precisamos encontrar o comprimento do segmento EF, onde E e F são os pontos de perpendicularidade das alturas DE e BF sobre a diagonal AC. Para resolver isso, vamos usar geometria analítica: coordenadas dos pontos, equações de retas e distância entre pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as coordenadas do ponto D. Como ABCD é um paralelogramo, os vetores opostos são iguais. Então, a partir de A para B, temos o mesmo movimento de C para D.
Vetor AB = B - A = (7-1, 3-1) = (6,2)
Então, D = C + Vetor AD = C + Vetor AB = (9,7) + (6,2) = (15,9)

Passo 3

Agora, vamos determinar as equações das retas AC e as perpendiculares a ela que passam por D e B.
Primeiro, a reta AC:
Coordenadas de A(1,1) e C(9,7)
Inclinação de AC:
m_AC = (7-1)/(9-1) = 6/8 = 3/4
Equação da reta AC usando ponto A:
y - 1 = (3/4)(x - 1)
y = (3/4)x + 1 - (3/4)
y = (3/4)x + 1/4

Passo 4

Agora, precisamos das retas DE e BF que são perpendiculares a AC. A inclinação de uma reta perpendicular é o negativo do inverso, então:
m_perp = -4/3
Equação da reta DE passando por D(15,9):
y - 9 = (-4/3)(x - 15)
y = (-4/3)x + 20 + 9
y = (-4/3)x + 29
Equação da reta BF passando por B(7,3):
y - 3 = (-4/3)(x - 7)
y = (-4/3)x + (28/3) + 3
y = (-4/3)x + 28/3 + 9/3
y = (-4/3)x + 37/3

Passo 5

Agora, vamos encontrar os pontos E e F, que são a interseção das perpendiculares DE e BF com a diagonal AC.
Para encontrar E, resolvemos o sistema entre as equações de AC e DE:
(3/4)x + 1/4 = (-4/3)x + 29
Multiplicando tudo por 12 para eliminar as frações:
9x + 3 = -16x + 348
25x = 345
x = 13.8
y = (3/4)(13.8) + 1/4 = 10.35 + 0.25 = 10.6
Então, E = (13.8, 10.6)
Para encontrar F, resolvemos o sistema entre as equações de AC e BF:
(3/4)x + 1/4 = (-4/3)x + 37/3
Multiplicando tudo por 12:
9x + 3 = -16x + 148
25x = 145
x = 5.8
y = (3/4)(5.8) + 1/4 = 4.35 + 0.25 = 4.6
Então, F = (5.8, 4.6)

Passo 6

Agora, calculamos a distância entre E(13.8, 10.6) e F(5.8, 4.6) usando a fórmula da distância:
d = √[(x2 - x1)² + (y2 - y1)²]
d = √[(13.8 - 5.8)² + (10.6 - 4.6)²]
d = √[(8)² + (6)²]
d = √[64 + 36]
d = √100
d = 10

Resposta

O comprimento do segmento EF é 10 unidades.

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