Encontre o centro, os focos e vértices da hipérbole de equação:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o centro, os focos e os vértices de uma hipérbole cuja equação é:
Esse problema faz parte da matéria de Geometria Analítica, mais especificamente sobre formas de hipérboles. Para resolver, vamos precisar organizar a equação da hipérbole na forma padrão, o que envolve completar o quadrado tanto para o termo com
quanto para o termo com
.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma de uma hipérbole padrão. Para isso, vamos agrupar os termos de
e os termos de
juntos. A equação original é:
Vamos reorganizar para:
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado para os termos de
e
separadamente. Primeiro, vamos fatorar os coeficientes das variáveis quadráticas:
Para
:
Para
:
Passo 4
Vamos completar o quadrado dentro dos parênteses. Para completar o quadrado de
, tomamos metade do coeficiente de
(-2) e elevamos ao quadrado:
Então:
Fazemos o mesmo para
:
Então:
Passo 5
Substituímos de volta na equação, lembrando de ajustar o lado direito:
Simplificando:
Passo 6
Para chegar à forma padrão da hipérbole, dividimos todos os termos por 36:
Simplificando as frações:
Agora, temos a equação na forma padrão da hipérbole:
Passo 7
Comparando com a nossa equação:
Identificamos:
- Centro
: -
então -
então
Passo 8
Agora, encontramos os vértices da hipérbole. Para hipérboles da forma
, os vértices estão a uma distância
do centro ao longo do eixo
.
Então:
- Vértice 1:
- Vértice 2:
Passo 9
Para encontrar os focos, usamos a relação:
Calculando:
Os focos estão a uma distância
do centro ao longo do eixo
, então:
- Foco 1:
- Foco 2:
Resposta
- Centro:
- Vértices:
e - Focos:
e
Exercícios relacionados
Quais as possíveis posições relativas entre planos?
Uma hipérbole
tem os focos num dos eixos coordenados e centro na origem. Sabendo que uma das assíntotas de
é a reta
e que
, determine a equação de
.
Sejam
e
vetores do
. Determine o valor de
, tal que
seja ortogonal a
ABCD é um paralelogramo onde
e
. Pelos vértices D e B são traçadas as perpendiculares DE e BF à diagonal AC do paralelogramo.
b) Determine o comprimento do segmento EF.
b) Determine o comprimento do segmento EF.