Encontre o centro, os focos e vértices da hipérbole de equação:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o centro, os focos e os vértices de uma hipérbole cuja equação é:
Esse problema faz parte da matéria de Geometria Analítica, mais especificamente sobre formas de hipérboles. Para resolver, vamos precisar organizar a equação da hipérbole na forma padrão, o que envolve completar o quadrado tanto para o termo com quanto para o termo com .

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma de uma hipérbole padrão. Para isso, vamos agrupar os termos de e os termos de juntos. A equação original é:
Vamos reorganizar para:

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para os termos de e separadamente. Primeiro, vamos fatorar os coeficientes das variáveis quadráticas:
Para :
Para :

Passo 4

Vamos completar o quadrado dentro dos parênteses. Para completar o quadrado de , tomamos metade do coeficiente de (-2) e elevamos ao quadrado:
Então:
Fazemos o mesmo para :
Então:

Passo 5

Substituímos de volta na equação, lembrando de ajustar o lado direito:
Simplificando:

Passo 6

Para chegar à forma padrão da hipérbole, dividimos todos os termos por 36:
Simplificando as frações:
Agora, temos a equação na forma padrão da hipérbole:

Passo 7

Comparando com a nossa equação:
Identificamos:
  • Centro :
  • então
  • então

Passo 8

Agora, encontramos os vértices da hipérbole. Para hipérboles da forma , os vértices estão a uma distância do centro ao longo do eixo .
Então:
  • Vértice 1:
  • Vértice 2:

Passo 9

Para encontrar os focos, usamos a relação:
Calculando:
Os focos estão a uma distância do centro ao longo do eixo , então:
  • Foco 1:
  • Foco 2:

Resposta

  • Centro:
  • Vértices: e
  • Focos: e

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