Encontre o centro, os focos e vértices da hipérbole de equação:
9 x^2-4 y^2-18 x-8 y-31=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o centro, os focos e os vértices de uma hipérbole cuja equação é:
9 x^2-4 y^2-18 x-8 y-31=0
Esse problema faz parte da matéria de Geometria Analítica, mais especificamente sobre formas de hipérboles. Para resolver, vamos precisar organizar a equação da hipérbole na forma padrão, o que envolve completar o quadrado tanto para o termo com quanto para o termo com .

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma de uma hipérbole padrão. Para isso, vamos agrupar os termos de 9 x^2 - 4 y^2 - 18 x - 8 y - 31 = 0 e os termos de 9x^2 - 18x - 4y^2 - 8y = 31 juntos. A equação original é:
Vamos reorganizar para:

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para os termos de 9x^2 - 18x = 9(x^2 - 2x) e -4y^2 - 8y = -4(y^2 + 2y) separadamente. Primeiro, vamos fatorar os coeficientes das variáveis quadráticas:
Para :
Para :

Passo 4

Vamos completar o quadrado dentro dos parênteses. Para completar o quadrado de (-22)^2 = 1 , tomamos metade do coeficiente de x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2 (-2) e elevamos ao quadrado:
(22)^2 = 1
Então:
y^2 + 2y + 1 = (y + 1)^2
Fazemos o mesmo para :
Então:

Passo 5

Substituímos de volta na equação, lembrando de ajustar o lado direito:
9(x^2 - 2x + 1) - 4(y^2 + 2y + 1) = 31 + 9(1) - 4(1)
Simplificando:
9(x - 1)^2 - 4(y + 1)^2 = 31 + 9 - 4
9(x - 1)^2 - 4(y + 1)^2 = 36

Passo 6

Para chegar à forma padrão da hipérbole, dividimos todos os termos por 36:
9(x - 1)^236 - 4(y + 1)^236 = 1
Simplificando as frações:
(x - 1)^24 - (y + 1)^29 = 1
Agora, temos a equação na forma padrão da hipérbole:
(x - h)^2a^2 - (y - k)^2b^2 = 1

Passo 7

Comparando com a nossa equação:
(x - 1)^24 - (y + 1)^29 = 1
Identificamos:
  • Centro :
  • então
  • então

Passo 8

Agora, encontramos os vértices da hipérbole. Para hipérboles da forma , os vértices estão a uma distância do centro ao longo do eixo .
Então:
  • Vértice 1:
  • Vértice 2:

Passo 9

Para encontrar os focos, usamos a relação:
c^2 = a^2 + b^2
Calculando:
c^2 = 4 + 9 = 13 c = raiz13
Os focos estão a uma distância do centro ao longo do eixo , então:
  • Foco 1:
  • Foco 2:

Resposta

  • Centro:
  • Vértices: e
  • Focos: e

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