Duas partículas se movem ao longo de retas parametrizadas, respectivamente, pelas equações e . A trajetória dessas partículas se interceptam? Se sim, indique em qual posição .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta duas partículas que se movem em linhas retas diferentes no espaço. A nossa missão é descobrir se essas trajetórias se cruzam em algum ponto e, se sim, qual é a posição desse encontro. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como equações paramétricas de linhas e sistema de equações para encontrar a interseção.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as equações das duas linhas:
  • Linha é dada por , onde é o parâmetro.
  • Linha está representada de uma forma diferente: . Vamos reescrever essa equação em forma paramétrica para facilitar os cálculos.

Passo 3

Para a linha , vamos chamar o termo comum de :
Isso nos permite escrever as equações paramétricas da linha como:

Passo 4

Agora, para que as duas linhas se interceptem, deve existir um ponto que satisfaça as equações de ambas as linhas ao mesmo tempo. Ou seja, devemos encontrar valores de e que tornem as coordenadas iguais para ambas as linhas.
Então, igualamos as componentes correspondentes:

Passo 5

Vamos resolver o sistema de equações. Comecemos pela equação (2):
Agora que temos o valor de , substituímos na equação (1) para encontrar :
Vamos verificar se esse valor de satisfaz a equação (3):
Hmm, algo não bate aqui. Parece que houve um erro. Vamos verificar nossos cálculos.

Passo 6

Percebi o erro! Ao resolver a equação (3), deveríamos ter usado o valor de para encontrar na linha e comparar com .
Vamos calcular usando :
Mas anteriormente encontramos , o que não coincide. Isso significa que não há um ponto em comum onde as duas linhas se intersectam.

Resposta

Não, as trajetórias das duas partículas não se interceptam.

Exercícios relacionados

Sejam e pontos do espaço. Verifique se os vetores e são não colineares (paralelos) e escreva equações vetorial e cartesiana do plano determinado por e . Verifique se está no plano .
ABCD é um paralelogramo onde e . Pelos vértices D e B são traçadas as perpendiculares DE e BF à diagonal AC do paralelogramo.
b) Determine o comprimento do segmento EF.
Classifique a posição relativa entre a reta e o plano e, caso sejam concorrentes, encontre o ponto em comum.
é a reta que passa por e tem direção e é o plano .
Determine e de modo que:
os planos e sejam coincidentes;