Duas partículas se movem ao longo de retas parametrizadas, respectivamente, pelas equações
e
. A trajetória dessas partículas se interceptam? Se sim, indique em qual posição
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta duas partículas que se movem em linhas retas diferentes no espaço. A nossa missão é descobrir se essas trajetórias se cruzam em algum ponto e, se sim, qual é a posição
desse encontro. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como equações paramétricas de linhas e sistema de equações para encontrar a interseção.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as equações das duas linhas:
-
Linha
é dada por , onde é o parâmetro. -
Linha
está representada de uma forma diferente: . Vamos reescrever essa equação em forma paramétrica para facilitar os cálculos.
Passo 3
Para a linha
, vamos chamar o termo comum de
:
Isso nos permite escrever as equações paramétricas da linha
como:
Passo 4
Agora, para que as duas linhas se interceptem, deve existir um ponto que satisfaça as equações de ambas as linhas ao mesmo tempo. Ou seja, devemos encontrar valores de
e
que tornem as coordenadas
iguais para ambas as linhas.
Então, igualamos as componentes correspondentes:
Passo 5
Vamos resolver o sistema de equações. Comecemos pela equação (2):
Agora que temos o valor de
, substituímos na equação (1) para encontrar
:
Vamos verificar se esse valor de
satisfaz a equação (3):
Hmm, algo não bate aqui. Parece que houve um erro. Vamos verificar nossos cálculos.
Passo 6
Percebi o erro! Ao resolver a equação (3), deveríamos ter usado o valor de
para encontrar
na linha
e comparar com
.
Vamos calcular
usando
:
Mas anteriormente encontramos
, o que não coincide. Isso significa que não há um ponto em comum onde as duas linhas se intersectam.
Resposta
Não, as trajetórias das duas partículas não se interceptam.