Duas partículas se movem ao longo de retas parametrizadas, respectivamente, pelas equações r:(x, y, z)=(2+t, 1,3-2 t), t in R e s: x-12=y+33=z. A trajetória dessas partículas se interceptam? Se sim, indique em qual posição (x, y, z).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta duas partículas que se movem em linhas retas diferentes no espaço. A nossa missão é descobrir se essas trajetórias se cruzam em algum ponto e, se sim, qual é a posição (x, y, z) desse encontro. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como equações paramétricas de linhas e sistema de equações para encontrar a interseção.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as equações das duas linhas:
  • Linha (x, y, z) = (2 + t, 1, 3 - 2t) é dada por x-12 = y+33 = z, onde é o parâmetro.
  • Linha está representada de uma forma diferente: . Vamos reescrever essa equação em forma paramétrica para facilitar os cálculos.

Passo 3

Para a linha x-12 = y+33 = z = s , vamos chamar o termo comum de x = 1 + 2s y = -3 + 3s z = s :
Isso nos permite escrever as equações paramétricas da linha como:

Passo 4

Agora, para que as duas linhas se interceptem, deve existir um ponto que satisfaça as equações de ambas as linhas ao mesmo tempo. Ou seja, devemos encontrar valores de 2 + t = 1 + 2s (1) 1 = -3 + 3s (2) 3 - 2t = s (3) e que tornem as coordenadas iguais para ambas as linhas.
Então, igualamos as componentes correspondentes:

Passo 5

Vamos resolver o sistema de equações. Comecemos pela equação (2):
1 = -3 + 3s 1 + 3 = 3s 4 = 3s s = 43
Agora que temos o valor de 2 + t = 1 + 2(43) 2 + t = 1 + 83 2 + t = 113 t = 113 - 2 t = 113 - 63 t = 53 , substituímos na equação (1) para encontrar 3 - 2(53) = s 3 - 103 = 43 93 - 103 = -13 -13 neq 43 :
Vamos verificar se esse valor de satisfaz a equação (3):
Hmm, algo não bate aqui. Parece que houve um erro. Vamos verificar nossos cálculos.

Passo 6

Percebi o erro! Ao resolver a equação (3), deveríamos ter usado o valor de s = 3 - 2(53) = 3 - 103 = 93 - 103 = -13 para encontrar na linha e comparar com .
Vamos calcular usando :
Mas anteriormente encontramos , o que não coincide. Isso significa que não há um ponto em comum onde as duas linhas se intersectam.

Resposta

Não, as trajetórias das duas partículas não se interceptam.

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