Duas partículas se movem ao longo de retas parametrizadas, respectivamente, pelas equações e . A trajetória dessas partículas se interceptam? Se sim, indique em qual posição .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta duas partículas que se movem em linhas retas diferentes no espaço. A nossa missão é descobrir se essas trajetórias se cruzam em algum ponto e, se sim, qual é a posição desse encontro. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como equações paramétricas de linhas e sistema de equações para encontrar a interseção.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as equações das duas linhas:
Linha é dada por , onde é o parâmetro.
Linha está representada de uma forma diferente: . Vamos reescrever essa equação em forma paramétrica para facilitar os cálculos.
Passo 3
Para a linha , vamos chamar o termo comum de :
Isso nos permite escrever as equações paramétricas da linha como:
Passo 4
Agora, para que as duas linhas se interceptem, deve existir um ponto que satisfaça as equações de ambas as linhas ao mesmo tempo. Ou seja, devemos encontrar valores de e que tornem as coordenadas iguais para ambas as linhas.
Então, igualamos as componentes correspondentes:
Passo 5
Vamos resolver o sistema de equações. Comecemos pela equação (2):
Agora que temos o valor de , substituímos na equação (1) para encontrar :
Vamos verificar se esse valor de satisfaz a equação (3):
Hmm, algo não bate aqui. Parece que houve um erro. Vamos verificar nossos cálculos.
Passo 6
Percebi o erro! Ao resolver a equação (3), deveríamos ter usado o valor de para encontrar na linha e comparar com .
Vamos calcular usando :
Mas anteriormente encontramos , o que não coincide. Isso significa que não há um ponto em comum onde as duas linhas se intersectam.
Resposta
Não, as trajetórias das duas partículas não se interceptam.