Sejam e pontos do espaço. Verifique se os vetores e são não colineares (paralelos) e escreva equações vetorial e cartesiana do plano determinado por e . Verifique se está no plano .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem três pontos no espaço: , e . Primeiro, vamos verificar se os vetores e são não colineares, ou seja, se eles não são paralelos. Depois, vamos escrever as equações vetorial e cartesiana do plano que passa por esses três pontos. Por fim, vamos conferir se o ponto está nesse plano. Para isso, vamos precisar saber sobre vetores, operações com vetores e equações de plano.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os vetores e . Para isso, subtraímos as coordenadas de das coordenadas de e :
Passo 3
Agora, vamos verificar se e são colineares. Dois vetores são colineares se um é múltiplo escalar do outro. Vamos checar se existe um número tal que:
Comparando as componentes:
Não tem nenhum valor de que satisfaça todas essas igualdades ao mesmo tempo. Portanto, os vetores não são colineares.
Passo 4
Como os vetores e não são colineares, eles formam um plano único . Para escrever a equação vetorial do plano, precisamos de um ponto e de dois vetores diretores que estão no plano. Aqui, podemos usar o ponto e os vetores e :
Substituindo os valores:
Passo 5
Agora, para a equação cartesiana do plano , precisamos encontrar um vetor normal ao plano. Isso obtenha-se fazendo o produto vetorial entre e :
Calculando:
Podemos simplificar esse vetor dividindo por -3:
Então, a equação cartesiana do plano é:
Simplificando:
Passo 6
Por último, vamos verificar se o ponto está no plano . Para isso, substituímos as coordenadas de na equação do plano:
Como , o ponto não está no plano .
Resposta
Os vetores e são não colineares. A equação vetorial do plano é: