Sejam A=(1,2,0), B=(2,3,1) e C=(-2,5,0) pontos do espaço. Verifique se os vetores A B e A C são não colineares (paralelos) e escreva equações vetorial e cartesiana do plano pi determinado por A, B e C. Verifique se P=(3,-1,2) está no plano pi.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem três pontos no espaço: , e . Primeiro, vamos verificar se os vetores e são não colineares, ou seja, se eles não são paralelos. Depois, vamos escrever as equações vetorial e cartesiana do plano que passa por esses três pontos. Por fim, vamos conferir se o ponto está nesse plano. Para isso, vamos precisar saber sobre vetores, operações com vetores e equações de plano.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os vetores AB = B - A = (2-1, , 3-2, , 1-0) = (1,,1,,1) e AC = C - A = (-2-1, , 5-2, , 0-0) = (-3,,3,,0) . Para isso, subtraímos as coordenadas de das coordenadas de e :

Passo 3

Agora, vamos verificar se AB = k cdot AC e 1 = -3k 1 = 3k 1 = 0k são colineares. Dois vetores são colineares se um é múltiplo escalar do outro. Vamos checar se existe um número tal que:
Comparando as componentes:
Não tem nenhum valor de que satisfaça todas essas igualdades ao mesmo tempo. Portanto, os vetores não são colineares.

Passo 4

Como os vetores r = A + s cdot AB + t cdot AC, onde s, t in R e r = (1,2,0) + s cdot (1,1,1) + t cdot (-3,3,0) não são colineares, eles formam um plano único . Para escrever a equação vetorial do plano, precisamos de um ponto e de dois vetores diretores que estão no plano. Aqui, podemos usar o ponto e os vetores e :
Substituindo os valores:

Passo 5

Agora, para a equação cartesiana do plano n = AB times AC , precisamos encontrar um vetor normal ao plano. Isso obtenha-se fazendo o produto vetorial entre n = i & j & k 1 & 1 & 1 -3 & 3 & 0 = i(1 cdot 0 - 1 cdot 3) - j(1 cdot 0 - 1 cdot (-3)) + k(1 cdot 3 - 1 cdot (-3)) = i(-3) - j(3) + k(6) = (-3, -3, 6) e n = (1,1,-2) :
1(x - 1) + 1(y - 2) - 2(z - 0) = 0
Calculando:
x + y - 2z - 3 = 0 ou x + y - 2z = 3
Podemos simplificar esse vetor dividindo por -3:
Então, a equação cartesiana do plano é:
Simplificando:

Passo 6

Por último, vamos verificar se o ponto 3 + (-1) - 2(2) = 3 -1 -4 = -2 está no plano . Para isso, substituímos as coordenadas de na equação do plano:
Como , o ponto não está no plano .

Resposta

Os vetores r = (1,2,0) + s cdot (1,1,1) + t cdot (-3,3,0), s, t in R e x + y - 2z = 3 são não colineares. A equação vetorial do plano é:
E a equação cartesiana do plano é:
O ponto não está no plano .

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