ABCD é um paralelogramo onde e . Pelos vértices D e B são traçadas as perpendiculares DE e BF à diagonal AC do paralelogramo.
a) Determine a posição do vértice D.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um paralelogramo com os vértices , e . Nosso objetivo aqui é encontrar as coordenadas do ponto .
Para resolver isso, precisamos entender algumas propriedades dos paralelogramos:
  • Propriedade das Diagonais: As diagonais de um paralelogramo se bissetam, ou seja, se cortam no ponto médio de cada uma.
Vamos usar essa propriedade para encontrar .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o ponto médio da diagonal . As coordenadas do ponto médio de dois pontos e são dadas por:
Aplicando isso aos pontos e :
Então, o ponto médio de é .

Passo 3

Agora, sabemos que as diagonais se bissetam, então o ponto médio de também deve ser .
Vamos chamar as coordenadas de de . Então, o ponto é e . O ponto médio de é:
Como sabemos que , podemos igualar as coordenadas:

Passo 4

Vamos resolver essas equações para encontrar e :
Para a coordenada :
Para a coordenada :

Resposta

Portanto, as coordenadas do vértice são .

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Determine e de modo que:
os planos e sejam coincidentes;
Classifique a posição relativa entre a reta e o plano e, caso sejam concorrentes, encontre o ponto em comum.
é a reta que passa por e tem direção e é o plano .
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