ABCD é um paralelogramo onde A=(1,1), B=(7,3) e C=(9,7). Pelos vértices D e B são traçadas as perpendiculares DE e BF à diagonal AC do paralelogramo.
a) Determine a posição do vértice D.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um paralelogramo com os vértices , e . Nosso objetivo aqui é encontrar as coordenadas do ponto .
Para resolver isso, precisamos entender algumas propriedades dos paralelogramos:
  • Propriedade das Diagonais: As diagonais de um paralelogramo se bissetam, ou seja, se cortam no ponto médio de cada uma.
Vamos usar essa propriedade para encontrar .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o ponto médio da diagonal M = ( x1 + x22, y1 + y22 ) . As coordenadas do ponto médio M = ( 1 + 92, 1 + 72 ) = ( 102, 82 ) = (5, 4) de dois pontos e são dadas por:
Aplicando isso aos pontos e :
Então, o ponto médio de é .

Passo 3

Agora, sabemos que as diagonais se bissetam, então o ponto médio de M = ( 7 + x2, 3 + y2 ) também deve ser 7 + x2 = 5 e 3 + y2 = 4 .
Vamos chamar as coordenadas de de . Então, o ponto é e . O ponto médio de é:
Como sabemos que , podemos igualar as coordenadas:

Passo 4

Vamos resolver essas equações para encontrar 7 + x2 = 5 7 + x = 10 x = 10 - 7 x = 3 e 3 + y2 = 4 3 + y = 8 y = 8 - 3 y = 5 :
Para a coordenada :
Para a coordenada :

Resposta

Portanto, as coordenadas do vértice são .

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