Determine a, b e c de modo que:
os planos Omega: 2 a x-y+4 z=-2 e Gamma: 4 x+b y+8 z=c sejam coincidentes;

Passo 1

Vamos resolver o problema que pede para determinar os valores de , e de forma que os planos e sejam coincidentes. Isso envolve entender que dois planos são coincidentes quando suas equações são múltiplos uma da outra. Para isso, vamos precisar comparar os coeficientes de , , e o termo constante das duas equações.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para dois planos serem coincidentes, deve existir um número constante 42a = b-1 = 84 = c-2 tal que todos os coeficientes correspondentes das duas equações sejam proporcionais. Isso significa:
Aqui, estamos igualando os coeficientes de , , e os termos constantes das equações e .

Passo 3

Vamos resolver cada proporção individualmente. Começando com os coeficientes de 42a = 2 Rightarrow 42a = 2 :
4 = 4a Rightarrow a = 1
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 4

Agora, vamos resolver para b-1 = 2 Rightarrow b = -2 usando a proporção dos coeficientes de :

Passo 5

Por último, resolvemos para c-2 = 2 Rightarrow c = -4 utilizando a proporção dos termos constantes:

Resposta

Os valores são , e .

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