Classifique a posição relativa entre a reta e o plano e, caso sejam concorrentes, encontre o ponto em comum.
é a reta que passa por e tem direção e é o plano .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente descobrir a posição relativa entre uma reta e um plano , e se elas se cruzarem, encontrar o ponto onde isso acontece. A reta passa pelo ponto e tem direção . O plano é o plano , que basicamente é o plano onde . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre como verificar se uma reta é paralela, está contida ou intersecta um plano, e como encontrar o ponto de interseção se houver.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o plano é definido por . Isso significa que qualquer ponto que está nesse plano tem a coordenada igual a zero.

Passo 3

Agora, vamos escrever a equação paramétrica da reta . Como a reta passa por e tem direção , podemos expressar a reta da seguinte forma:
onde é um parâmetro real.

Passo 4

Para encontrar se a reta intersecta o plano , precisamos encontrar um valor de que satisfaça a condição do plano, ou seja, .
Então, igualamos a equação de a zero:

Passo 5

Resolvendo para :

Passo 6

Com o valor de , vamos encontrar as coordenadas e correspondentes na reta:

Passo 7

Portanto, o ponto de interseção é:

Resposta

A reta e o plano são concorrentes e se interceptam no ponto .

Exercícios relacionados

Duas partículas se movem ao longo de retas parametrizadas, respectivamente, pelas equações e . A trajetória dessas partículas se interceptam? Se sim, indique em qual posição .
Sejam e pontos do espaço. Verifique se os vetores e são não colineares (paralelos) e escreva equações vetorial e cartesiana do plano determinado por e . Verifique se está no plano .
Determine e de modo que:
os planos e sejam coincidentes;
ABCD é um paralelogramo onde e . Pelos vértices D e B são traçadas as perpendiculares DE e BF à diagonal AC do paralelogramo.
a) Determine a posição do vértice D.