Classifique a posição relativa entre a reta e o plano e, caso sejam concorrentes, encontre o ponto em comum. é a reta que passa por e tem direção e é o plano .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente descobrir a posição relativa entre uma reta e um plano , e se elas se cruzarem, encontrar o ponto onde isso acontece. A reta passa pelo ponto e tem direção . O plano é o plano , que basicamente é o plano onde . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre como verificar se uma reta é paralela, está contida ou intersecta um plano, e como encontrar o ponto de interseção se houver.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o plano é definido por . Isso significa que qualquer ponto que está nesse plano tem a coordenada igual a zero.
Passo 3
Agora, vamos escrever a equação paramétrica da reta . Como a reta passa por e tem direção , podemos expressar a reta da seguinte forma:
onde é um parâmetro real.
Passo 4
Para encontrar se a reta intersecta o plano , precisamos encontrar um valor de que satisfaça a condição do plano, ou seja, .
Então, igualamos a equação de a zero:
Passo 5
Resolvendo para :
Passo 6
Com o valor de , vamos encontrar as coordenadas e correspondentes na reta:
Passo 7
Portanto, o ponto de interseção é:
Resposta
A reta e o plano são concorrentes e se interceptam no ponto .