Classifique a posição relativa entre a reta e o plano e, caso sejam concorrentes, encontre o ponto em comum.
r é a reta que passa por B=(1,-2,1) e tem direção v=(3,3,5) e pi é o plano y z.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente descobrir a posição relativa entre uma reta e um plano , e se elas se cruzarem, encontrar o ponto onde isso acontece. A reta passa pelo ponto e tem direção . O plano é o plano , que basicamente é o plano onde . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre como verificar se uma reta é paralela, está contida ou intersecta um plano, e como encontrar o ponto de interseção se houver.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o plano é definido por . Isso significa que qualquer ponto que está nesse plano tem a coordenada igual a zero.

Passo 3

Agora, vamos escrever a equação paramétrica da reta x = 1 + 3t y = -2 + 3t z = 1 + 5t . Como a reta passa por e tem direção , podemos expressar a reta da seguinte forma:
onde é um parâmetro real.

Passo 4

Para encontrar se a reta intersecta o plano 1 + 3t = 0 , precisamos encontrar um valor de que satisfaça a condição do plano, ou seja, .
Então, igualamos a equação de a zero:

Passo 5

Resolvendo para 3t = -1 t = -13 :

Passo 6

Com o valor de y = -2 + 3(-13) = -2 - 1 = -3 z = 1 + 5(-13) = 1 - 53 = -23 , vamos encontrar as coordenadas e correspondentes na reta:

Passo 7

Portanto, o ponto de interseção é:
P = (0, -3, -23)

Resposta

A reta e o plano são concorrentes e se interceptam no ponto .

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