ABCD é um quadrado, A=(-1,2) e C=(7,8). Determine os vértices B e D .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que temos aqui. Somos dados um quadrado onde os vértices e têm as coordenadas e , respectivamente. Nosso objetivo é encontrar as coordenadas dos vértices e . Vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, como o cálculo do ponto médio e a distância entre pontos, além de propriedades dos quadrados.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o ponto médio da diagonal M = ( x1 + x22, y1 + y22 ) . Em um quadrado, as diagonais se bissetam, ou seja, elas se cruzam no ponto médio. A fórmula para encontrar o ponto médio entre dois pontos M = ( -1 + 72, 2 + 82 ) = ( 62, 102 ) = (3, 5) e é:
Aplicando isso aos pontos e :
Então, o ponto médio é .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a distância entre d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 e d = raiz(7 - (-1))^2 + (8 - 2)^2 = raiz8^2 + 6^2 = raiz64 + 36 = raiz100 = 10 , que é o comprimento da diagonal do quadrado. A fórmula para a distância entre dois pontos é:
Então, para e :
A diagonal do quadrado mede 10 unidades.

Passo 4

Sabemos que, em um quadrado, as diagonais são iguais e se cruzam em ângulos de 90 graus. Isso significa que o vetor da diagonal AC = (7 - (-1), 8 - 2) = (8, 6) será perpendicular ao vetor da diagonal . Vamos encontrar o vetor :
Um vetor perpendicular a pode ser ou . Vamos usar para encontrar os pontos e .

Passo 5

Como Meio do vetor perpendicular = ( -62, 82 ) = (-3, 4) é o ponto médio de ambas as diagonais, podemos usar o vetor perpendicular para encontrar B = M + (-3, 4) = (3 - 3, 5 + 4) = (0, 9) e D = M - (-3, 4) = (3 + 3, 5 - 4) = (6, 1) . Vamos dividir o vetor perpendicular por 2 para obter a distância de a e :
Agora, somamos e subtraímos esse vetor do ponto médio para encontrar e :

Resposta

Os vértices e do quadrado são e .

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