Parametrize a reta que passa pelo ponto A=(-1,7,4) na direção do vetor v= (1,3,-2). Determine dois pontos pertencentes e dois pontos não pertencentes a esta reta.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para parametrizar uma reta que passa pelo ponto e tem como direção o vetor . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, mais especificamente a parametrização de retas no espaço tridimensional. Precisaremos entender como representar uma reta usando um ponto inicial e um vetor diretor.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como parametrizar uma reta. A forma geral da parametrização de uma reta no espaço é dada por:
r(t) = r0 + tv
Onde:
  • é a posição de um ponto qualquer na reta para um valor de parâmetro .
  • é a posição do ponto inicial pela qual a reta passa.
  • é o vetor diretor da reta.
  • é um parâmetro real que varia.
No nosso caso, o ponto inicial é e o vetor diretor .

Passo 3

Vamos então substituir esses valores na fórmula da parametrização. Para cada coordenada x(t) = -1 + t cdot 1 y(t) = 7 + t cdot 3 z(t) = 4 + t cdot (-2) , x(t) = -1 + t y(t) = 7 + 3t z(t) = 4 - 2t e , teremos:
Simplificando:

Passo 4

Agora que temos a parametrização da reta, vamos determinar dois pontos que pertencem a essa reta. Para isso, podemos escolher dois valores diferentes para x(0) = -1 + 0 = -1 y(0) = 7 + 0 = 7 z(0) = 4 - 0 = 4 e substituir nas equações acima.
Primeiro ponto:
Escolha x(1) = -1 + 1 = 0 y(1) = 7 + 3 = 10 z(1) = 4 - 2 = 2 :
Então, o primeiro ponto é (confirmando que realmente está na reta).
Segundo ponto:
Escolha :
Então, o segundo ponto é .

Passo 5

Agora, vamos encontrar dois pontos que não pertencem à reta. Para isso, precisamos escolher pontos que não satisfaçam as equações da parametrização para nenhum valor de 1 = -1 + t 7 = 7 + 3t 4 = 4 - 2t .
Primeiro ponto não pertencente:
Escolha 7 = 7 + 3(2) Rightarrow 7 = 13 (falso) .
Vamos verificar se existe um -1 = -1 + t Rightarrow t = 0 8 = 7 + 3(0) Rightarrow 8 = 7 (falso) 4 = 4 - 2(0) Rightarrow 4 = 4 (verdadeiro) que satisfaça:
Da primeira equação, . Na segunda, para :
Portanto, não pertence à reta.
Segundo ponto não pertencente:
Escolha .
Vamos verificar:
Como nem todas as equações são verdadeiras, também não pertence à reta.

Resposta

A parametrização da reta é:
x(t) = -1 + t y(t) = 7 + 3t z(t) = 4 - 2t
Dois pontos que pertencem à reta são e .
Dois pontos que não pertencem à reta são e .

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