Parametrize a reta que passa pelo ponto na direção do vetor . Determine dois pontos pertencentes e dois pontos não pertencentes a esta reta.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para parametrizar uma reta que passa pelo ponto e tem como direção o vetor . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, mais especificamente a parametrização de retas no espaço tridimensional. Precisaremos entender como representar uma reta usando um ponto inicial e um vetor diretor.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como parametrizar uma reta. A forma geral da parametrização de uma reta no espaço é dada por:
Onde:
é a posição de um ponto qualquer na reta para um valor de parâmetro .
é a posição do ponto inicial pela qual a reta passa.
é o vetor diretor da reta.
é um parâmetro real que varia.
No nosso caso, o ponto inicial é e o vetor diretor .
Passo 3
Vamos então substituir esses valores na fórmula da parametrização. Para cada coordenada , e , teremos:
Simplificando:
Passo 4
Agora que temos a parametrização da reta, vamos determinar dois pontos que pertencem a essa reta. Para isso, podemos escolher dois valores diferentes para x(0) = -1 + 0 = -1 y(0) = 7 + 0 = 7 z(0) = 4 - 0 = 4 e substituir nas equações acima.
Então, o primeiro ponto é (confirmando que realmente está na reta).
Segundo ponto:
Escolha :
Então, o segundo ponto é .
Passo 5
Agora, vamos encontrar dois pontos que não pertencem à reta. Para isso, precisamos escolher pontos que não satisfaçam as equações da parametrização para nenhum valor de 1 = -1 + t 7 = 7 + 3t 4 = 4 - 2t .
Primeiro ponto não pertencente:
Escolha 7 = 7 + 3(2) Rightarrow 7 = 13 (falso) .
Vamos verificar se existe um -1 = -1 + t Rightarrow t = 0 8 = 7 + 3(0) Rightarrow 8 = 7 (falso) 4 = 4 - 2(0) Rightarrow 4 = 4 (verdadeiro) que satisfaça:
Da primeira equação, . Na segunda, para :
Portanto, não pertence à reta.
Segundo ponto não pertencente:
Escolha .
Vamos verificar:
Como nem todas as equações são verdadeiras, também não pertence à reta.