Classifique a posição relativa entre as retas e, caso sejam concorrentes, encontre o ponto de concorrência.
, e ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente verificar como duas retas estão posicionadas em relação uma à outra e, se elas se cruzarem, encontrar o ponto de encontro. Vamos usar conceitos de geometria analítica para isso. Vamos precisar entender como essas retas estão representadas e ver se elas têm um ponto em comum.

Passo 2

Primeiro, vamos anotar as equações das retas:
  • Reta r(t): , onde é um número real.
  • Reta s( ): , onde é um número real.
Cada reta está dada em forma paramétrica, onde e são os parâmetros que variam ao longo das retas.

Passo 3

Para descobrir se as retas se cruzam, precisamos ver se existe algum par de valores e que tornam as coordenadas das duas retas iguais. Ou seja, queremos encontrar e tais que:
Isso dá um sistema de duas equações com duas incógnitas.

Passo 4

Vamos resolver o sistema passo a passo. Primeiro, vamos escrever as equações:
Vamos resolver a segunda equação para :
Agora, substituímos na primeira equação:

Passo 5

Observamos que a equação resultante é uma identidade , que é sempre verdadeira para qualquer valor de . Isso significa que as retas são coincidentes; ou seja, elas estão exatamente sobrepostas e possuem infinitos pontos em comum.

Resposta

As retas são coincidentes, ou seja, coincidem em todos os seus pontos.

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Parametrize a reta que passa pelo ponto na direção do vetor . Determine dois pontos pertencentes e dois pontos não pertencentes a esta reta.
Duas forças representadas pelos vetores e atuando numa partícula, fazem com ela de desloque ao longo de uma linha reta, do ponto ( 2,5 ) ao ponto (7, 3). Se e , sendo as intensidades das forças medidas em newtons e a distância em metros, ache o trabalho realizado pelas duas forças atuando juntas. (Use que: )
Se ache onde .