Classifique a posição relativa entre as retas e, caso sejam concorrentes, encontre o ponto de concorrência.
r(t)=(2-4 t, 3-2 t), t in R, e s(ell)=(-2+2 ell, 1+ell), ell in R;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente verificar como duas retas estão posicionadas em relação uma à outra e, se elas se cruzarem, encontrar o ponto de encontro. Vamos usar conceitos de geometria analítica para isso. Vamos precisar entender como essas retas estão representadas e ver se elas têm um ponto em comum.

Passo 2

Primeiro, vamos anotar as equações das retas:
  • Reta r(t): , onde é um número real.
  • Reta s( ): , onde é um número real.
Cada reta está dada em forma paramétrica, onde e são os parâmetros que variam ao longo das retas.

Passo 3

Para descobrir se as retas se cruzam, precisamos ver se existe algum par de valores 2 - 4t = -2 + 2ell e 3 - 2t = 1 + ell e que tornam as coordenadas das duas retas iguais. Ou seja, queremos encontrar e tais que:
Isso dá um sistema de duas equações com duas incógnitas.

Passo 4

Vamos resolver o sistema passo a passo. Primeiro, vamos escrever as equações:
  1. 3 - 2t = 1 + ell Rightarrow ell = 3 - 2t - 1 Rightarrow ell = 2 - 2t
  2. 2 - 4t = -2 + 2(2 - 2t) 2 - 4t = -2 + 4 - 4t 2 - 4t = 2 - 4t
Vamos resolver a segunda equação para :
Agora, substituímos na primeira equação:

Passo 5

Observamos que a equação resultante é uma identidade , que é sempre verdadeira para qualquer valor de . Isso significa que as retas são coincidentes; ou seja, elas estão exatamente sobrepostas e possuem infinitos pontos em comum.

Resposta

As retas são coincidentes, ou seja, coincidem em todos os seus pontos.

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