Classifique a posição relativa entre as retas e, caso sejam concorrentes, encontre o ponto de concorrência.
, e
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente verificar como duas retas estão posicionadas em relação uma à outra e, se elas se cruzarem, encontrar o ponto de encontro. Vamos usar conceitos de geometria analítica para isso. Vamos precisar entender como essas retas estão representadas e ver se elas têm um ponto em comum.
Passo 2
Primeiro, vamos anotar as equações das retas:
- Reta r(t):
, onde é um número real. - Reta s(
): , onde é um número real.
Cada reta está dada em forma paramétrica, onde
e
são os parâmetros que variam ao longo das retas.
Passo 3
Para descobrir se as retas se cruzam, precisamos ver se existe algum par de valores
e
que tornam as coordenadas das duas retas iguais. Ou seja, queremos encontrar
e
tais que:
Isso dá um sistema de duas equações com duas incógnitas.
Passo 4
Vamos resolver o sistema passo a passo. Primeiro, vamos escrever as equações:
Vamos resolver a segunda equação para
:
Agora, substituímos
na primeira equação:
Passo 5
Observamos que a equação resultante é uma identidade
, que é sempre verdadeira para qualquer valor de
. Isso significa que as retas são coincidentes; ou seja, elas estão exatamente sobrepostas e possuem infinitos pontos em comum.
Resposta
As retas são coincidentes, ou seja, coincidem em todos os seus pontos.