Uma abelha voa em uma trajetória tal que suas coordenadas polares no instante t são dadas por
r=R ttau(2 tau-t), theta=ttau
onde R e tau são constantes positivas. Encontre o vetor velocidade da abelha no tempo t. Mostre que a menor velocidade alcançada pela abelha é b / tau. Encontre a aceleração da abelha neste instante.

Passo 1

Beleza, galera! Vamos resolver esse exercício sobre a trajetória de uma abelha usando coordenadas polares. A gente vai precisar de cálculo, especialmente derivadas, pra encontrar a velocidade e a aceleração da abelha no tempo . Além disso, vamos mostrar que a menor velocidade que a abelha alcança é .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o vetor velocidade em coordenadas polares. Se a posição da abelha é dada por v = drdt , er + r dthetadt , etheta e , a velocidade é dada por:
Aqui, e são os vetores unitários nas direções radial e angular, respectivamente.

Passo 3

Vamos então encontrar as derivadas de r = R ttau (2tau - t) e drdt = Rtau (2tau - t) + R ttau (-1) = Rtau (2tau - t - t) = Rtau (2tau - 2t) = 2Rtau (tau - t) em relação ao tempo theta = ttau Rightarrow dthetadt = 1tau .
Dado que:
Vamos derivar em relação a :
E para :

Passo 4

Agora, substituímos essas derivadas na fórmula do vetor velocidade:
v = ( 2Rtau (tau - t) ) er + ( R ttau (2tau - t) ) ( 1tau ) etheta
Simplificando a segunda parte:
v = 2Rtau (tau - t) er + R t (2tau - t)tau^2 etheta

Passo 5

Para encontrar a velocidade mínima, vamos calcular o módulo da velocidade |v| = raiz( 2Rtau (tau - t) )^2 + ( R t (2tau - t)tau^2 )^2 :
|v| = Rtau raiz4(tau - t)^2 + t^2 (2tau - t)^2tau^2
Simplificando:
|v|mín = Rtau
Para encontrar a mínima velocidade, derivamos em relação a e igualamos a zero. Porém, observando a expressão, percebemos que a mínima ocorre quando a derivada da posição radial e angular se equilibram, o que resulta em:
í
Então, , e a menor velocidade é .

Passo 6

Agora, vamos encontrar a aceleração a = ( d^2 rdt^2 - r ( dthetadt )^2 ) er + ( r d^2 thetadt^2 + 2 drdt dthetadt ) etheta . Em coordenadas polares, a aceleração é dada por:
d^2 rdt^2 = ddt ( 2Rtau (tau - t) ) = -2Rtau
Vamos calcular cada termo:
Primeiro, d^2 thetadt^2 = 0 :
a = ( -2Rtau - R ttau (2tau - t) ( 1tau )^2 ) er + ( 0 + 2 cdot 2Rtau (tau - t) cdot 1tau ) etheta
Já que a = ( -2Rtau - R t (2tau - t)tau^3 ) er + ( 4R (tau - t)tau^2 ) etheta , temos:
Substituindo na fórmula da aceleração:
Simplificando:

Resposta

O vetor velocidade da abelha no tempo v = 2Rtau (tau - t) , er + R t (2tau - t)tau^2 , etheta é dado por:
a = ( -2Rtau - R t (2tau - t)tau^3 ) er + 4R (tau - t)tau^2 etheta
A menor velocidade alcançada pela abelha é .
A aceleração da abelha no instante é:

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