Uma abelha voa em uma trajetória tal que suas coordenadas polares no instante
são dadas por
onde
e
são constantes positivas. Encontre o vetor velocidade da abelha no tempo
. Mostre que a menor velocidade alcançada pela abelha é
. Encontre a aceleração da abelha neste instante.
Passo 1
Beleza, galera! Vamos resolver esse exercício sobre a trajetória de uma abelha usando coordenadas polares. A gente vai precisar de cálculo, especialmente derivadas, pra encontrar a velocidade e a aceleração da abelha no tempo
. Além disso, vamos mostrar que a menor velocidade que a abelha alcança é
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o vetor velocidade em coordenadas polares. Se a posição da abelha é dada por
e
, a velocidade
é dada por:
Aqui,
e
são os vetores unitários nas direções radial e angular, respectivamente.
Passo 3
Vamos então encontrar as derivadas de
e
em relação ao tempo
.
Dado que:
Vamos derivar
em relação a
:
E para
:
Passo 4
Agora, substituímos essas derivadas na fórmula do vetor velocidade:
Simplificando a segunda parte:
Passo 5
Para encontrar a velocidade mínima, vamos calcular o módulo da velocidade
:
Simplificando:
Para encontrar a mínima velocidade, derivamos
em relação a
e igualamos a zero. Porém, observando a expressão, percebemos que a mínima ocorre quando a derivada da posição radial e angular se equilibram, o que resulta em:
Então,
, e a menor velocidade é
.
Passo 6
Agora, vamos encontrar a aceleração
. Em coordenadas polares, a aceleração é dada por:
Vamos calcular cada termo:
Primeiro,
:
Já que
, temos:
Substituindo na fórmula da aceleração:
Simplificando:
Resposta
O vetor velocidade da abelha no tempo
é dado por:
A menor velocidade alcançada pela abelha é
.
A aceleração da abelha no instante
é: