Uma abelha voa em uma trajetória tal que suas coordenadas polares no instante são dadas por
onde e são constantes positivas. Encontre o vetor velocidade da abelha no tempo . Mostre que a menor velocidade alcançada pela abelha é . Encontre a aceleração da abelha neste instante.

Passo 1

Beleza, galera! Vamos resolver esse exercício sobre a trajetória de uma abelha usando coordenadas polares. A gente vai precisar de cálculo, especialmente derivadas, pra encontrar a velocidade e a aceleração da abelha no tempo . Além disso, vamos mostrar que a menor velocidade que a abelha alcança é .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o vetor velocidade em coordenadas polares. Se a posição da abelha é dada por e , a velocidade é dada por:
Aqui, e são os vetores unitários nas direções radial e angular, respectivamente.

Passo 3

Vamos então encontrar as derivadas de e em relação ao tempo .
Dado que:
Vamos derivar em relação a :
E para :

Passo 4

Agora, substituímos essas derivadas na fórmula do vetor velocidade:
Simplificando a segunda parte:

Passo 5

Para encontrar a velocidade mínima, vamos calcular o módulo da velocidade :
Simplificando:
Para encontrar a mínima velocidade, derivamos em relação a e igualamos a zero. Porém, observando a expressão, percebemos que a mínima ocorre quando a derivada da posição radial e angular se equilibram, o que resulta em:
í
Então, , e a menor velocidade é .

Passo 6

Agora, vamos encontrar a aceleração . Em coordenadas polares, a aceleração é dada por:
Vamos calcular cada termo:
Primeiro, :
Já que , temos:
Substituindo na fórmula da aceleração:
Simplificando:

Resposta

O vetor velocidade da abelha no tempo é dado por:
A menor velocidade alcançada pela abelha é .
A aceleração da abelha no instante é:

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Demostre que a equação de um plano que passa pelo ponto e é perpendicular ao vetor é
onde é o vetor posição de um ponto do plano e o vetor posição de .
a. e
b. e ;
c. e
d. e 0 rad .
Todos os pares se propagam no mesmo sentido na mesma corda. Sem executar cálculo, ordene os quatros pares de acordo com a amplitude da onda resultante, em ordem decrescente.