Uma abelha voa em uma trajetória tal que suas coordenadas polares no instante
são dadas por
onde
e
são constantes positivas. Encontre o vetor velocidade da abelha no tempo
. Mostre que a menor velocidade alcançada pela abelha é
. Encontre a aceleração da abelha neste instante.
Passo 1
Beleza, galera! Vamos resolver esse exercício sobre a trajetória de uma abelha usando coordenadas polares. A gente vai precisar de cálculo, especialmente derivadas, pra encontrar a velocidade e a aceleração da abelha no tempo
. Além disso, vamos mostrar que a menor velocidade que a abelha alcança é
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o vetor velocidade em coordenadas polares. Se a posição da abelha é dada por
e
, a velocidade
é dada por:
Aqui,
e
são os vetores unitários nas direções radial e angular, respectivamente.
Passo 3
Vamos então encontrar as derivadas de
e
em relação ao tempo
.
Dado que:
Vamos derivar
em relação a
:
E para
:
Passo 4
Agora, substituímos essas derivadas na fórmula do vetor velocidade:
Simplificando a segunda parte:
Passo 5
Para encontrar a velocidade mínima, vamos calcular o módulo da velocidade
:
Simplificando:
Para encontrar a mínima velocidade, derivamos
em relação a
e igualamos a zero. Porém, observando a expressão, percebemos que a mínima ocorre quando a derivada da posição radial e angular se equilibram, o que resulta em:
Então,
, e a menor velocidade é
.
Passo 6
Agora, vamos encontrar a aceleração
. Em coordenadas polares, a aceleração é dada por:
Vamos calcular cada termo:
Primeiro,
:
Já que
, temos:
Substituindo na fórmula da aceleração:
Simplificando:
Resposta
O vetor velocidade da abelha no tempo
é dado por:
A menor velocidade alcançada pela abelha é
.
A aceleração da abelha no instante
é:
Exercícios relacionados
Encontre o vetor tangente unitário, o vetor normal unitário e a curvatura:
- Da circunferência
. - Da hélice
. - Da parábola
.
(a)Determine a capacitância
, a diferença de potencial
, e a carga
total armazenada no capacitor e a energia potencial elétrica
nele armazenada antes do material dielétrico ser inserido entre as placas.
Demostre que a equação de um plano que passa pelo ponto
e é perpendicular ao vetor
é
onde
é o vetor posição de um ponto do plano e
o vetor posição de
.
a.
e
b. e
;
c. e
d. e 0 rad .
Todos os pares se propagam no mesmo sentido na mesma corda. Sem executar cálculo, ordene os quatros pares de acordo com a amplitude da onda resultante, em ordem decrescente.
b.
c.
d.
Todos os pares se propagam no mesmo sentido na mesma corda. Sem executar cálculo, ordene os quatros pares de acordo com a amplitude da onda resultante, em ordem decrescente.