Encontre o vetor tangente unitário, o vetor normal unitário e a curvatura:
- Da circunferência
.
- Da hélice
.
- Da parábola
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o vetor tangente unitário, o vetor normal unitário e a curvatura para três curvas diferentes:
- Circunferência definida por
, , . - Hélice definida por
, , . - Parábola definida por
, , .
Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas de vetores posição, normalização e fórmulas de curvatura. Vou te guiar passo a passo para cada curva. Vamos lá!
Passo 2
1. Circunferência:
Primeiro, vamos analisar a circunferência
,
,
.
Vetor posição:
Derivada em relação a
(vetor tangente não normalizado):
Comprimento do vetor tangente:
Vetor tangente unitário (
):
Passo 3
Vetor normal unitário (
):
Para encontrar o vetor normal, precisamos derivar o vetor tangente:
Comprimento de
:
Vetor normal unitário:
Passo 4
Curvatura (
):
A curvatura é dada por:
Passo 5
Resposta para a Circunferência:
- Vetor tangente unitário:
- Vetor normal unitário:
- Curvatura:
Passo 6
2. Hélice:
Agora vamos para a hélice
,
,
.
Vetor posição:
Derivada em relação a
(vetor tangente não normalizado):
Comprimento do vetor tangente:
Vetor tangente unitário (
):
Passo 7
Vetor normal unitário (
):
Primeiro, derivamos o vetor tangente:
Comprimento de
:
Vetor normal unitário:
Passo 8
Curvatura (
):
A curvatura é dada por:
Passo 9
Resposta para a Hélice:
- Vetor tangente unitário:
- Vetor normal unitário:
- Curvatura:
Passo 10
3. Parábola:
Agora, vamos para a parábola
,
,
.
Vetor posição:
Derivada em relação a
(vetor tangente não normalizado):
Comprimento do vetor tangente:
Vetor tangente unitário (
):
Passo 11
Vetor normal unitário (
):
Primeiro, derivamos o vetor tangente:
Usando a regra do produto:
Calculando a derivada:
Então:
Simplificando:
Comprimento de
:
Vetor normal unitário:
Passo 12
Curvatura (
):
A curvatura é dada por:
Passo 13
Resposta para a Parábola:
- Vetor tangente unitário:
- Vetor normal unitário:
- Curvatura:
Resposta
Concluindo, os vetores tangente unitário, normal unitário e a curvatura para cada curva são:
-
Circunferência:
- Vetor tangente unitário:
- Vetor normal unitário:
- Curvatura:
- Vetor tangente unitário:
-
Hélice:
- Vetor tangente unitário:
- Vetor normal unitário:
- Curvatura:
- Vetor tangente unitário:
-
Parábola:
- Vetor tangente unitário:
- Vetor normal unitário:
- Curvatura:
- Vetor tangente unitário:
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.