Encontre o vetor tangente unitário, o vetor normal unitário e a curvatura:
  • Da circunferência x=R cos theta, y=R sin theta, z=0.
  • Da hélice x=R cos theta, y=R sin theta, z=A theta.
  • Da parábola x=a t^2, y=2 a t, z=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o vetor tangente unitário, o vetor normal unitário e a curvatura para três curvas diferentes:
  1. Circunferência definida por , , .
  2. Hélice definida por , , .
  3. Parábola definida por , , .
Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas de vetores posição, normalização e fórmulas de curvatura. Vou te guiar passo a passo para cada curva. Vamos lá!

Passo 2

1. Circunferência:
Primeiro, vamos analisar a circunferência , , .
Vetor posição:
Derivada em relação a (vetor tangente não normalizado):
Comprimento do vetor tangente:
Vetor tangente unitário ( ):

Passo 3

Vetor normal unitário ( ):
Para encontrar o vetor normal, precisamos derivar o vetor tangente:
Comprimento de :
Vetor normal unitário:

Passo 4

Curvatura ( ):
A curvatura é dada por:

Passo 5

Resposta para a Circunferência:
  • Vetor tangente unitário:
  • Vetor normal unitário:
  • Curvatura:

Passo 6

2. Hélice:
Agora vamos para a hélice , , .
Vetor posição:
Derivada em relação a (vetor tangente não normalizado):
Comprimento do vetor tangente:
Vetor tangente unitário ( ):

Passo 7

Vetor normal unitário ( ):
Primeiro, derivamos o vetor tangente:
Comprimento de :
Vetor normal unitário:

Passo 8

Curvatura ( ):
A curvatura é dada por:

Passo 9

Resposta para a Hélice:
  • Vetor tangente unitário:
  • Vetor normal unitário:
  • Curvatura:

Passo 10

3. Parábola:
Agora, vamos para a parábola , , .
Vetor posição:
Derivada em relação a (vetor tangente não normalizado):
Comprimento do vetor tangente:
Vetor tangente unitário ( ):

Passo 11

Vetor normal unitário ( ):
Primeiro, derivamos o vetor tangente:
Usando a regra do produto:
Calculando a derivada:
Então:
Simplificando:
Comprimento de :
Vetor normal unitário:

Passo 12

Curvatura ( ):
A curvatura é dada por:

Passo 13

Resposta para a Parábola:
  • Vetor tangente unitário:
  • Vetor normal unitário:
  • Curvatura:

Resposta

Concluindo, os vetores tangente unitário, normal unitário e a curvatura para cada curva são:
  1. Circunferência:
    • Vetor tangente unitário:
    • Vetor normal unitário:
    • Curvatura:
  2. Hélice:
    • Vetor tangente unitário:
    • Vetor normal unitário:
    • Curvatura:
  3. Parábola:
    • Vetor tangente unitário:
    • Vetor normal unitário:
    • Curvatura:

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