Demostre que a equação de um plano que passa pelo ponto e é perpendicular ao vetor é
onde é o vetor posição de um ponto do plano e o vetor posição de .

Passo 1

Vamos lá! O que a questão pede é para mostrar que a equação de um plano que passa por um ponto e é perpendicular a um vetor é dada por
Aqui, estamos lidando com álgebra vetorial, especificamente com equações de planos e produto escalar (dot product). Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um plano ser perpendicular a um vetor e como expressar isso matematicamente usando vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que o vetor é perpendicular ao plano. Se um vetor é perpendicular a um plano, ele é chamado de vetor normal ao plano. Isso significa que qualquer vetor que está dentro do plano será perpendicular a .

Passo 3

Agora, vamos considerar um ponto qualquer no plano. O vetor posição desse ponto é , e o vetor posição do ponto é . A diferença desses vetores, , representa um vetor que está dentro do plano porque liga dois pontos do plano.

Passo 4

Como é perpendicular ao plano, o vetor (que está no plano) deve ser perpendicular a . Em álgebra vetorial, quando dois vetores são perpendiculares, o produto escalar entre eles é igual a zero. Ou seja,

Resposta

A equação do plano é

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Uma abelha voa em uma trajetória tal que suas coordenadas polares no instante são dadas por
onde e são constantes positivas. Encontre o vetor velocidade da abelha no tempo . Mostre que a menor velocidade alcançada pela abelha é . Encontre a aceleração da abelha neste instante.
Encontre o vetor tangente unitário, o vetor normal unitário e a curvatura:
  • Da circunferência .
  • Da hélice .
  • Da parábola .
a. e
b. e ;
c. e
d. e 0 rad .
Todos os pares se propagam no mesmo sentido na mesma corda. Sem executar cálculo, ordene os quatros pares de acordo com a amplitude da onda resultante, em ordem decrescente.
a. Se uma onda estacionária em uma onda é dada por
existe um nó ou um antinó em ?
b. Se uma onda estacionária em uma onda é dada por
existe um nó ou um antinó em ?