Demostre que a equação de um plano que passa pelo ponto
e é perpendicular ao vetor
é
onde
é o vetor posição de um ponto do plano e
o vetor posição de
.
Passo 1
Vamos lá! O que a questão pede é para mostrar que a equação de um plano que passa por um ponto
e é perpendicular a um vetor
é dada por
Aqui, estamos lidando com álgebra vetorial, especificamente com equações de planos e produto escalar (dot product). Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um plano ser perpendicular a um vetor e como expressar isso matematicamente usando vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que o vetor
é perpendicular ao plano. Se um vetor é perpendicular a um plano, ele é chamado de vetor normal ao plano. Isso significa que qualquer vetor que está dentro do plano será perpendicular a
.
Passo 3
Agora, vamos considerar um ponto qualquer
no plano. O vetor posição desse ponto é
, e o vetor posição do ponto
é
. A diferença desses vetores,
, representa um vetor que está dentro do plano porque liga dois pontos do plano.
Passo 4
Como
é perpendicular ao plano, o vetor
(que está no plano) deve ser perpendicular a
. Em álgebra vetorial, quando dois vetores são perpendiculares, o produto escalar entre eles é igual a zero. Ou seja,
Resposta
A equação do plano é