Demostre que a equação de um plano que passa pelo ponto
e é perpendicular ao vetor
é
onde
é o vetor posição de um ponto do plano e
o vetor posição de
.
Passo 1
Vamos lá! O que a questão pede é para mostrar que a equação de um plano que passa por um ponto
e é perpendicular a um vetor
é dada por
Aqui, estamos lidando com álgebra vetorial, especificamente com equações de planos e produto escalar (dot product). Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um plano ser perpendicular a um vetor e como expressar isso matematicamente usando vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que o vetor
é perpendicular ao plano. Se um vetor é perpendicular a um plano, ele é chamado de vetor normal ao plano. Isso significa que qualquer vetor que está dentro do plano será perpendicular a
.
Passo 3
Agora, vamos considerar um ponto qualquer
no plano. O vetor posição desse ponto é
, e o vetor posição do ponto
é
. A diferença desses vetores,
, representa um vetor que está dentro do plano porque liga dois pontos do plano.
Passo 4
Como
é perpendicular ao plano, o vetor
(que está no plano) deve ser perpendicular a
. Em álgebra vetorial, quando dois vetores são perpendiculares, o produto escalar entre eles é igual a zero. Ou seja,
Resposta
A equação do plano é
Exercícios relacionados
Uma abelha voa em uma trajetória tal que suas coordenadas polares no instante
são dadas por
onde
e
são constantes positivas. Encontre o vetor velocidade da abelha no tempo
. Mostre que a menor velocidade alcançada pela abelha é
. Encontre a aceleração da abelha neste instante.
Encontre o vetor tangente unitário, o vetor normal unitário e a curvatura:
- Da circunferência
. - Da hélice
. - Da parábola
.
a.
e
b. e
;
c. e
d. e 0 rad .
Todos os pares se propagam no mesmo sentido na mesma corda. Sem executar cálculo, ordene os quatros pares de acordo com a amplitude da onda resultante, em ordem decrescente.
b.
c.
d.
Todos os pares se propagam no mesmo sentido na mesma corda. Sem executar cálculo, ordene os quatros pares de acordo com a amplitude da onda resultante, em ordem decrescente.
a. Se uma onda estacionária em uma onda é dada por
existe um nó ou um antinó em
?
b. Se uma onda estacionária em uma onda é dada por
b. Se uma onda estacionária em uma onda é dada por
existe um nó ou um antinó em
?